Інтерполяційний многочлен Ньютона

Будемо шукати многочлен Рn(x) степеня n, що задовольняє умовам у вигляді

де х0, х1, ..., хn - задані значення аргументу х;

хi–хi-1=h=const, (i = 0, 1, 2, .

коефіцієнти а0, а1, ..., аn невідомі.

Визначимо невідомі коефіцієнти а0, а1, ..., аn, виходячи з умов (7.5).

Покладемо у формулі (7.11) х=х0. Тоді Рn(х0)=а0. Однак, у силу умов (7.5), Рn(х0)=y0. Отже, а0=y0.

Для визначення а1 покладемо у формулі (7.11) х=х1, після чого одержимо

З огляду на те, що Рn(х1)=y1, а0=х0, х1–х0=h, можемо записати y1=y0+а1h, з цього виразу отримаємо . Однак, y1–y0=∆y0 – кінцева різниця 1-го порядку, отже, .

Далі, покладемо х=х2, одержимо

Оскільки Рn(х2)=y2, а0=y0, , х2–х0=2h, х1–х0=h, можемо записати

(7.14)

звідси

Але ∆y0=y1–y0, тому y2–y0–2∆y0=y2–y0–2(y1–y0)=y2–2y1+y0=∆2y0.

Отже,

Аналогічні подальші обчислення (з урахуванням формули, що виражає різниці різних порядків через значення функції) дозволяють записати інші коефіцієнти:

, , ..., , ..., .

Підставивши знайдені вираження коефіцієнтів у формулу (7.11), одержимо

(7.15)

Це і є інтерполяційна формула Ньютона.

Її можна представити в трохи іншому вигляді, більш зручному для практичного використання.

Позначимо

Тоді

;

; ...;

і формула (7.15) приймає вигляд

(7.16)

Формулу (7.16) доцільно використовувати для інтерполяції (екстраполювання) функції y=f(x) в околиці початкового значення х0, де q мале за абсолютною величиною.

Якщо у формулі (7.16) прийняти n=1, одержимо формулу лінійної інтерполяції:

Р1(х)=y0+q∆y0.

При n=2 будемо мати формулу параболічної (квадратичної) інтерполяції:

При застосуванні першої інтерполяційної формули Ньютона зручно користатися горизонтальною таблицею кінцевих різниць, оскільки тоді необхідні значення різниць функції знаходяться у відповідному горизонтальному рядку таблиці.

Степінь n многочлена Рn(х) на практиці бажано вибирати так, щоб кінцеві різниці ∆nyi були практично постійними. За початкове значення х0 можна приймати будь-як табличне значення аргументу х.

Приклад 7.1

Дані по тиску водню на лінії насичення наведені в таблиці. Побудувати інтерполяційні багаточлени Лагранжа і Ньютона і оцінити їх похибку.

Визначити тиск водню при температурі насичення T=12,5; T=15,4; T=17,7.

Значення тиску при температурі, яка дорівнює Т=12.5К, отримане за допомогою інтерполяційного многочлена Лагранжа за формулою, складає

і за допомогою інтерполяційного многочлена Ньютона за формулою, де , а кінцеві різниці представлені в табл.7.1, також складає

Значення тиску при температурі, яка дорівнює Т=15.4К, отримане за допомогою інтерполяційного многочлена Лагранжа за формулою, складає

і за допомогою інтерполяційного многочлена Ньютона за формулою, де , а кінцеві різниці представлені в табл. 7.1, також складає

Таблиця 7.1

Таблиця кінцевих різниць

Значення тиску при температурі рівної Т=17.7К, отримане за допомогою інтерполяційного многочлена Лагранжа за формулою, складає

і за допомогою інтерполяційного многочлена Ньютона за формулою, де , а кінцеві різниці представлені в табл. 7.1, також складає