9.3. Метод прогонки

При применении метода конечных разностей к краевым задачам для дифференциальных уравнений второго порядка получается «трехчленная система» линейных алгебраических уравнений, каждые из которых содержит три соседних неизвестных.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с двухточечными краевыми условиями , (функции p(x), q(x), f(x) –непрерывны на [a,b], и ).

От дифференциального уравнения перейдем к конечно-разностному уравнению. Для этого разобьем отрезок [a,b] на n равных частей с шагом . Получим точки разбиения: .

Обозначим

Заменим производные в точках x_i i=0,1,2,…,n-1 конечно-разностными отношениями

А в точках x₀ и x_n отношениями

Вместо дифференциального уравнения (3) и краевых условий (4) получим систему конечно-разностных уравнений.

(8)

Метод прогонки решения таких систем заключается в следующем.

(9)

где

(10)

Из уравнения выразим y₀:

(11)

Подставим получившееся выражение в первое уравнение системы (9) (при i=0). Уравнение тогда будет зависеть только от двух неизвестных y₁ и y₂. Преобразуем уравнение, выразив y₁:

,

где

(12)

Полученное выражение для y₁ подставим в следующее уравнение системы и т.д. В общем виде получим следующие выражения:

,

(13)

где

(14)

Рассмотрим последнее уравнение вида (12) и последнее уравнения системы (8):

Подставив первое уравнение во второе, получим:

(15)

Вычисления производятся в следующем порядке:

Прямой ход

По формулам (10) вычисляем значения m_i и k_i.

Далее, по формулам (12) находим c₀ и d₀, а затем, применяя последовательно формулы (14) получаем значения c_i и d_i, при i=1,2,…,n-2.

Обратный ход

Т.к. числа все значения чисел c_i и d_i уже найдены, найдем значение y_n по формуле (15). Затем, последовательно применяя формулы (12) вычисляем значения y_i, i=n-1,…,1.

И, наконец, значение y₀ находим по формуле (11).

Блок-схема метода