9.2. Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с двухточечными линейными краевыми условиями , (функции p(x), q(x), f(x) –непрерывны на [a,b], и ).

Одним из наиболее простых методов решения краевой задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений.

Для этого разобьем основной отрезок [a,b] на n равных частей длины h, где . Получим точки разбиения: .

Обозначим значения искомой функции y=y(x) и ее производных в точках деления x_i через . Аналогично введем обозначения .

Заменим производные функции во внутренних точках x_i отрезка [a,b] симметричными конечно-разностными отношениями:

(5)

В концевых точках х₀=а и x_n=b, чтобы не выходить за пределы отрезка [a;b], сделаем другую замену:

(6)

Используя формулы (5), дифференциальное уравнение (1) во внутренних точках x_i, где i=1,2,…, n-1, приближенно можно заменить линейной системой уравнений:

(7)

Кроме того, в силу формул (6) краевые условия (2) дополнительно дают еще два уравнения:

(8)

Таким образом получена линейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными , представляющее собой значения искомой функций y=y(x) в точках .

Решив эту систему, если возможно, получим таблицу значений искомой функции y.