2.3. Функціонали, які залежать від функцій кількох незалежних змінних.

Розглянемо функціонал вигляду

, (2.12)

де функція задана в деякій плоскій замкненій обмеженій області , має неперервні частинні похідні до другого порядку включно в цей області і приймає на границі області задане значення, тобто

.

Відносно функції припустимо, що вона має неперервні частинні похідні за всіма своїми аргументами до другого порядку включно.

Введемо функції:

,

,

,

де - поверхня порівняння, а на контурі дорівнює нулю (умова 2.13).

На функціях функціонал (2.12) стає функцією від параметра , тобто .

Отримаємо необхідні умови екстремуму для функціонала (2.12). Для цього будемо використовувати умову (1.11) з урахуванням зауваження 1.6. Маємо:

.

У наступних перетвореннях скористаємося рівностями

,

і формулою Гріна

,

де .

.

За основною лемою варіаційного числення (теорема 2.1) з урахуванням зауваження 1.7. отримуємо рівняння Ейлера-Остроградського

. (2.14)

Приклад 2.5. Записати крайову задачу для знаходження екстремальних поверхонь функціонала

,

. (2.15)

Розв’язання.

.

Записуємо рівняння (2.14):

. (2.16)

Рівняння (2.16), як відомо, називається рівнянням Лапласа, а крайова задача (2.16)-(2.15)- задачею Діріхлє.

Приклад 2.6. Записати рівняння Ейлера-Остроградського для функціонала

.

Розв’язання.

.

Записуємо рівняння (2.14):

. (2.17)

Рівняння (2.17) називається рівнянням Пуассона.

Узагальнення функціонала (2.12) є функціонал

, (2.19)

де .

Для функціонала (2.19) рівняння (2.14) має вигляд

. (2.20)

Зауваження 2.5. Якщо функція функціонала (2.19) залежить від похідних вищих порядків, то, за аналогією з перетворенням підрозд. 2.2, до варіації функціонала потрібно застосувати кілька разів перетворення, які використовувалися для виводу рівняння (2.14).