5.2. Задача Лагранжа

Варіаційними задачами на умовний екстремум називаються задачі, в яких потрібно знайти екстремум функціонала з деяким обмеженням (зв’язками), які накладені на функції, від яких залежить функціонал.

Наприклад, потрібно дослідити на екстремум функціонал

(5.9)

якщо введені додаткові умови

(5.10)

або (5.11)

В механіці умови (5.10) називаються голономними, а (5.11)- неголономними.

Теорема 5.3. Я якщо крива надає екстремум функціоналу

(5.12)

в класі допустимих кривих, які задовольняють граничні умови і розташовані на поверхні , у точках якої то існує функція , така, що крива є екстремаллю функціонала

(5.13)

де (5.14)

Функція називається функцією Лагранжа.

Доведення. Припустимо, крива надає екстремум функціоналу (5.12), варіації функцій та відмінні від нуля лише у малому околі точки , та крива є допустимою кривою порівняння.

,

де разом з . Звідки

.

За умовою . Припустимо для визначеності, що саме . Остання рівність, з точністю до нескінченно малих першого порядку малості, може бути записана у вигляді

. (5.15)

Так само, для варіації функціонала, (5.11) з урахування (5.15), запишемо рівняння

Звідки, з необхідної умови екстремуму знаходимо

вздовж дослідженої кривої, тобто

(5.16)

Система рівнянь (5.16) є системою диференціальних рівнянь Ейлера для функції варіаційної задачі (5.13)-(5.14).

Узагальнення теореми (5.3) є наступна теорема.

Теорема 5.4. Якщо на вектор − функції , де , яка задовольняє граничні умови

, , , (5.16)

і додаткові умови (5.10) функціонал (5.9) досягає екстремуму, то функції задовольняють систему рівнянь Ейлера

, , (5.17)

складену для функціонала

(5.18)

де .

Відносно функцій , з рівнянь (5.10) припускається, що вони лінійно незалежні, тобто

.

Аналогічна теорема має місце в тому випадку, коли рівняння зв'язку (5.11) є диференціальним.

Теорема 5.5. Якщо на вектор-функції , де , яка дозволяє граничні умови (5.16) і додаткові умови (5.11) функціонал (5.9) досягає екстремуму, то функції задовольняють систему диференціальних рівнянь Ейлера (5.17), складену для функціонала (5.18), де

.

Відносно функцій з рівнянь (5.11) припускається, що

.

Задачі, розглянуті в підрозділі 5.2, називаються задачами Лагранжа, а функції − множниками Лагранжа.

Приклад 5.2. Знайти екстремаль функціонала

, яка задовольняє граничні умови , , і рівняння зв'язку .

Розв'язання.

1. Побудуємо функцію Лагранжа:

, , ,

.

2. Запишемо систему рівнянь Ейлера і рівняння зв’язку:

3. Знайдемо розв’язок останньої системи. Для цього знайдемо суму перших двох рівнянь:

.

Функцію знаходити в даному випадку непотрібно, тому що ця функція допоміжне значення і ніде не з’являється у розв’язку.

Сталі інтегрування , =1,2 знайдемо з граничних умов:

Таким чином, .

Зауваження 5.1. Граничні умови і рівняння зв’язку повинні бути узгоджені, а саме:

.

Узгодженість рівнянь зв’язку і граничних умов потрібно перевіряти перш ніж розпочати розв’язання задач.

Приклад 5.3. Знайти найменшу відстань між точками і , які лежать на площині .

Розв’язання. За умовою потрібно знайти екстремаль функціонала , яка задовольняє граничні умови і рівняння зв’язку .

1. Складемо функцію Лагранжа: , , , .

2. Запишемо систему рівнянь Ейлера і рівняння зв’язку:

3. Знайдемо розв’язок отриманої системи. Для цього запишемо різницю перших двох рівнянь, а третє – продиференціюємо:

Підставимо та в рівняння . Маємо:

, .

Сталі інтегрування визначимо з початкових умов:

Звідки знаходимо: .

Таким чином, рівняння шуканої лінії таке:

Лінія найменшої довжини, яка з’єднує дві задані точки на поверхні називається геодезичною лінією.

Приклад 5.4. Знайти екстремаль функціонала , яка задовольняє граничні умови , і рівняння зв’язку .

Розв’язання:

1. Складемо функцію Лагранжа: , , , .

2. Запишемо систему рівнянь Ейлера і рівняння зв’язку:

3.

, а

.

Сталі інтегрування визначаємо з граничних умов:

Тому: .