7.3. Теорема про мінімальний функціонал. Мінімізуюча послідовність і її збіжність

Метою цього підрозділу є встановлення відповідності між існуванням розв'язку функціонального рівняння (7.5) і квадратичним функціоналом

.

Теорема 7.2. Якщо - додатній оператор, то рівняння (7.5) , не може мати більше одного розв'язку.

Доведення. Припустимо протилежне, тобто і такі що . Тоді і . Так як оператор додатній, то згідно означенню (7.4), , . Даний висновок суперечить припущенню, що рівняння (7.5) може мати більше одного розв'язку.

Теорема 7.3. (теорема про мінімальний функціонал). Нехай - додатній оператор. Якщо рівняння , має розв'язок , то квадратичний функціонал (7.9) приймає на функції мінімальне значення.

Обернене твердження. Нехай серед функцій існує функція , яка надає функціоналу (7.8) мінімальне значення.

Доведення.

Необхідність. Нехай функція є розв'язком рівняння 7.5. Тобто . Запишемо функціонал (7.9), де замість функції підставимо :

Функціонал досягає свого мінімального значення тоді і тільки тоді, коли , а саме .

Достатність. Нехай функція надає функціоналу мінімальне значення. Візьмемо довільну функцію і довільне число . Сума і . Здійснимо деякі перетворення лівої частини останньої нерівності

У вище наведених перетвореннях враховано, що оператор симетричний. Функція є квадратним двочленом відносно параметра . Нерівність виконується лише тоді, коли дискримінант цього квадратного двочлена не є додатнім, тобто

, а це можливо лише тоді, коли .

Так як енергетичний простір оператора повний, то остання рівність для будь-яких функцій можлива лише тоді, коли , тобто є розв'язком рівняння 7.5.

З погляду практичного застосування теореми 7.3 важливо мати алгоритм, який дає можливість будувати послідовності функцій, які збіжні до розв'язку .

Означення 7.9. Послідовність функцій , які належать області визначення функціонала називається мінімізуючою для цього функціонала, якщо , де .

Нехай , як і раніше є додатним оператором, а рівняння має розв'язок , тоді для функціонала (7.9) (див. теорему 7.3) і мінімізуюча послідовність визначається рівністю .

Теорема 7.4. Якщо рівняння має розв'язок , де - додатний оператор, , , то будь-яка мінімізуюча для функціонала (7.8) послідовність збігається за енергією до розв'язку .

Доведення. Якщо мінімізуюча послідовність для функціонала (7.9), то

.

Тому і . Якщо припустити, що оператор додатньо визначений, то (див. теорему 7.1) .

Теорема 7.4 є основою для застосування прямих методів до розв'язку крайових задач.

Зауваження 7.3. Розв'язок рівняння (7.5), який мінімізує функціонал (7.8) в , як правило, називають узагальненим розв'язком рівняння (7.4).