1.2. Екстремум функціонала. Необхідна умова екстремуму. Основна лема варіаційного числення

Припустимо, що функціонал розглядається на деякій кривій .

Означення 1.7. Функціонал досягає на кривій локального максимуму (мінімуму), якщо для будь-яких кривих , близьких до кривої виконується нерівність

(1.10)

Якщо , то на кривій екстремум строгий.

Теорема 1.1. (необхідна умова екстремуму функціонала). Якщо функціонал , такий що має варіацію, досягає на деякій внутрішній кривій екстремуму, то варіація функціонала при дорівнює нулю.

Доведення.

(1.11)

Поняття локального екстремуму пов’язане з дослідженням поведінки функціонала на близьких кривих. Відрізняють сильний і слабкий екстремум.

Означення 1.8. Функціонал досягає на кривій сильного екстремуму (максимуму, мінімуму), якщо криві порівняння близькі у розумінні близькості нульового порядку. Якщо криві порівняння близькі у розумінні близькості першого порядку, то екстремум називається слабким.

Очевидно, що будь-який сильний екстремум одночасно буде і слабким. Зворотне твердження не завжди є вірним.

Приклад 1.3. Дослідити на екстремум функціонал .

Розв’язання. Функціонал досягає на відрізку прямої , слабкого мінімуму. Якщо взяти криві, близькі до прямої у розумінні близькості першого порядку (), то для цих кривих (), і виконується нерівність (1.10).

Сильний мінімум буде відсутнім. Для доведення цього твердження розглянемо криві порівняння . Для цих кривих , а .

Для значень функціонал починає приймати від’ємні значення і нерівність (1.10) не виконується.

В процесі дослідження необхідних умов екстремуму для різних постановок варіаційних задач використовується наступна важлива теорема.

Теорема 1.2. (основна лема варіаційного числення). Якщо функція і для будь-якої функції виконується умова , то .

Доведення. Припустимо протилежне, тобто існує точка , в який (наприклад ). Тоді, в наслідок неперервності функції , існує окіл точки (), де функція зберігає знак (за домовленістю ). За умовою, функція - довільна неперервна функція. Виберемо знак функції таким самим, як і у функції .

.

Отриманий результат суперечить умові теореми. Тому, припущення, що функція в деякій точці відмінна від нуля, невірне.

Зауваження 1.4. Функцію можна вибрати так:

Зауваження 1.5. Твердження леми залишається вірним, якщо розглядати більш вузький клас функцій , а саме , , .

Зауваження 1.6. Все, що викладено у розділі 1, без змін може бути перенесено на функціонали від вектор функцій або на функціонали від функцій з кількома незалежними змінними. Для таких функціоналів варіація визначається як головна лінійна частина приросту функціонала і виконується необхідна умова екстремуму.

Зауваження 1.7. Теорема 1.2 має місце і для кратних інтегралів, а її доведення практично таке саме, як і у випадку визначеного інтеграла. Так, наприклад, для подвійних інтегралів її можна записати таким чином: якщо функція і для будь-якої функції виконується умова

,

то .

Функцію можна вибрати так:

де - достатньо малий радіус круга з центром в точці .