3.1. Друга варіація функціонала. Квадратичний функціонал. Теорема Лежандра

Означення 3.1. Говорять, що функціонал має другу варіацію, якщо його приріст може бути записаний у вигляді

, (3.1)

де - лінійний функціонал (перша варіація функціонала), - квадратичний функціонал, а за умови, що .

Означення 3.2. Квадратичний функціонал називається другою варіацією функціонала. Тобто

. (3.2)

Теорема 3.1. Для того, щоб функціонал на кривій досягав мінімуму (максимуму) необхідно, щоб при виконувалася умова

для будь-яких допустимих значень .

Доведення. За умовою теореми на кривій функціонал досягає екстремуму. Тому і

.

Знак для достатньо малих значень буде таким самим, як і знак у .

Нехай на кривій функціонал досягає мінімуму. Тоді і друга варіація повинна бути невід’ємною. Якщо на кривій функціонал досягає максимуму, то і, як наслідок,

Розглянемо найпростіший функціонал (2.1) і отримаємо розрахункову формулу для обчислення другої варіації функціонала.

Маємо:

(3.3)

.

де (3.4)

(3.5)

Другий доданок у виразі (3.3) зінтегруємо частинами. Тоді, з урахуванням того, що і , можна записати вираз (3.4) так:

, (3.6)

де , (3.7)

. (3.8)

Саме функціонал (3.4) і буде квадратичним функціоналом.

Теорема 3.2. (теорема Лежандра). Для того, щоб функціонал (2.2) досягав на кривій мінімуму (максимуму), необхідно, щоб здовж цієї кривої виконувалася умова

. (3.9)

Доведення.

Виберемо функцію у вигляді

На проміжку [: , . Тому

.

За теоремою 3.1 функціонал повинен бути невід’ємним, а отриманий результат суперечить цій теоремі.

Зауваження 3.1. Лежандр прикладав значні зусилля, щоб довести, що умова є і додатною умовою мінімуму (максимуму) функціонала (2.1). Однак виявилося, що це не так.