6.2. Канонічні перетворення. Теорема Нетер.

Розглянемо систему канонічних рівнянь Ейлера (6.4) для функціонала (2.5) і перейдемо від змінних до нових змінних

.

З'ясуємо, які умови потрібно накласти на функції та з (6.6), щоб у нових змінних рівняння Ейлера (6.4) для функціонала

(6.7)

мали б канонічний вигляд, а саме

. (6.8)

Функціонали (2.5) і (6.7) задають дві різні варіаційні задачі від змінних та , тому, що та , (6.6) залежать від та , .

Означення 6.5. Дві варіаційні задачі називаються еквівалентними, якщо одну задачу можна отримати з другої деякої заміною змінних, а самі функціонали називаються інваріантними відносно заданого перетворення.

Теорема 6.2. Дві варіаційні задачі (2.5) і (6.7) еквівалентні, якщо вирази під інтегралами відрізняються один від одного на повний диференціал деякої функції.

Доведення.

і позначимо

. (6.9)

Функція (6.9) задовольняє систему рівнянь Ейлера (2.5). Дійсно:

.

При цьому , а варіація сталої величини дорівнює нулю. Таким чином, якщо до функціонала (2.5) додати інтеграл від повного диференціала деякої функції , то екстремалі задачі (2.5) не зміняться (значення самого функціонала зміниться на деяку сталу величину).

Використовуючи доведене твердження запишемо рівність

,

або

.

Звідки .

Якщо функція не залежить явно від , то , тобто для отримання нової функції Гамільтона достатньо в функції поміняти та на та відповідно.

Зауваження 6.1. Той такий, що функція не залежить явно від рівносильно такому твердженню: якщо ввести нову змінну , то функція і інтеграл не зміняться. Таким чином, функція є першим інтегралом системи рівнянь Ейлера (6.4) тоді і тільки тоді, коли функціонал не змінюється при перетворенні .

Приклад 6.1. Задані функціонали і . Перевірити інваріантність цих функціоналів відносно перетворення координат , , де .

Розв'язання. Припустимо, що задана на проміжку крива має рівняння . Після введення нових координат крива буде мати рівняння . Розглянемо наведені функціонали

.

.

Таким чином, функціонал інваріантний відносно наведеного перетворення координат, а варіаційні задачі та еквівалентні. Функціонал не є інваріантним відносно вказаного перетворення координат.

Теорема 6.3 (Теорема Нетер). Якщо існує сукупність зворотних перетворень змінних , які залежать від параметра , а саме:

;

, (6.10)

де функції диференційовані, а при задають тотожнє перетворення, то кожному перетворення координат (6.10), яке залишає інтеграл (2.5) інваріантним, відповідає перший інтеграл системи рівнянь Ейлера (6.4).

Доведення теореми Нетер можна знайти в [2,5].

Приклад 6.2. Записати перший інтеграл системи рівнянь Ейлера (6.4) у разі інваріантності варіаційної задачі (2.5) відносно перетворення координат .

Розв’язання. Припустимо, що функціонал (2.5) має екстремалі , , а - криві порівняння. Зробимо наступні перетворення: , де - нескінченно мала величина і запишемо варіацію функціонала (2.5). Маємо:

.

За умовою, варіаційна задача інваріантна відносно заданого перетворення координат, а варіація функціонала для довільних значень і дорівнює нулю. Тому - перший інтеграл системи канонічних рівнянь Ейлера (6.4).