Функціонали у лінійному нормованому просторі. Варіація функціонала

Припустимо, що заданий лінійний нормований простір , у якому кожному елементу поставлене у відповідь дійсне число , яке називається нормою елемента [4].

.

Означення 1.1. Функціоналом в лінійному нормованому просторі називається змінна величина, яка приймає дійсні значення і визначена на всій множині Е (або на деякій множині ).

Зауваження 1.1. Якщо функціонал визначений на деякій множині функцій , то він, як правило, записується .

Приклади лінійних нормованих просторів:

1. Евклідів простір . Задані дві точки , , . У цьому просторі норма елемента і відстань між елементами визначаються за формулами:

; (1.1)

.

2. Простір неперервних на замкненому проміжку функцій . Для функцій :

; (1.3)

. (1.4)

3. Простір неперервних і неперервно диференційованих на замкненому проміжку функцій , . Для функцій норма елемента і відстань визначаються так:

; (1.5)

. (1.6)

Очевидно, що всі властивості [4] лінійності, властивості норми і відстані між елементами для елементів просторів , , виконуються.

Означення 1.2. Приростом (варіацією) аргумента функціонала називається різниця між двома функціями. Функції .

Означення 1.3. Криві і мають близькість нульового порядку, якщо , маємо .

Рис. 1.1 Рис. 1.2

На рис. 1.1 зображені криві, які мають близькість нульового порядку, а криві рис. 1.2 мають близькість першого порядку. Очевидно, що для кривих, які мають близькість - того порядку, існує близькість і будь-якого меншого порядку.

Означення 1.4. Функціонал називається неперервним на кривій у розумінні близькості - того порядку, якщо , таке, що як тільки .

Зауваження 1.2. Означення неперервності наведене для функцій з класу .

Зауваження 1.3. Для дослідження варіаційних задач не вистачає лише простору . Один з найбільш поширених функціоналів не є неперервним у просторі .

Приклад 1.1. В класі розглядається функціонал . Дослідити неперервність цього функціонала на відрізку , .

Розв’язання. Візьмемо криву . Ця крива має близькість нульового порядку з відрізком осі , . Дійсно: .

При цьому безпосереднє обчислення приросту функціонала, а саме

,

вказує на те, що приріст не прямує до нуля.

Тобто, наведений функціонал не є неперервним у класі .

Означення 1.5. Функціонал називається лінійним на множині , якщо і виконуються властивості лінійності, а саме:

;

.

Запишемо приріст функціонала :

.

Припустимо, що приріст функціонала можна записати у вигляді

, (1.7)

де - лінійний відносно функціонал, а функціонал прямує до нуля, якщо .

Означення 1.6. Варіацією функціонала називається лінійна відносно частина приросту функціонала.

Варіація функціонала позначається . Виходячи з (1.7), маємо

. (1.8)

Далі отримаємо розрахункову формулу для знаходження варіації функціонала (1.8). Для цього обчислимо похідну функціонала при . Маємо

,

оскільки , якщо .

Таким чином, маємо

(1.9)

Приклад 1.2. Обчислити варіацію функціонала за означенням (1.8) і безпосередньо за формулою (1.9).

Розв’язання.

1. Запишемо приріст функціонала і скористаємося формулою (1.8):

,

де , , якщо . Тому

.

2. За формулою (1.9) знаходимо:

.