4.1. Загальна формула варіації функціонала

До цього часу розглядалися варіаційні задачі, де криві порівняння мали спільні початкові і кінцеві точки. В загальному випадку, у варіаційних задачах граничні точки рухомі. Вони переміщуються на невеликі відстані в довільному напрямку.

Припустимо, що функціонал найпростішої задачі (2.1) має варіацію. Побудуємо цю варіацію у загальному випадку (рис. 4.1.).

Рис. 4.1.

Запишемо приріст функціонала (2.1) на кривих порівняння та і виділимо головну лінійну частину цього приросту (варіацію функціонала).

, .

Від значень функції в точках до значень функції в точках можна перейти завдяки неперервності функції . Таким чином:

(4.1)

У формулі (4.1) є приростом ординати в точці при переході від кривої до кривої .

. (4.2)

Формула (4.2) є загальною формулою варіації функціонала (2.1).

Для функціонала (2.5)

загальний вираз для варіації буде таким

. (4.3)