4.4. Екстремалі з кутовими точками

У попередніх розділах розглядалися варіаційні задачі, де криві порівняння були неперервними і мали неперервні похідні. Однак умова існування неперервної похідної є неприродною, а екстремум, у багатьох задачах, досягається саме на екстремалях з кутовими точками.

Розглянемо варіаційну задачу для функціонала (2.1)

з граничними умовами .

Припустимо, також, що екстремаль може мати при кутову точку (злом). Кутова точка може бути лише там, де , тому що у інших випадках є неперервною функцією (див. зауваження 2.3).

Розглянемо два проміжка та і заданий функціонал запишемо у вигляді

.

На кожному з проміжків , екстремаль задовольняє рівняння Ейлера (2.2). Загальну формулу для варіації функціонала можна записати на кожному з вказаних проміжків і на проміжку . При цьому вважаємо, що точка може довільно переміщуватися.

. (4.9)

За необхідною умовою екстремуму функціонала (теорема 1.1) .

(4.10)

Умови (4.10) називаються умовами Вейєрштрасса-Ердмана.

Зауваження 4.2. Якщо ввести нові змінні (канонічні змінні) , то умови (4.10) набудуть вигляду

(4.11)

А це, як неважко побачити, є умовами неперервності канонічних змінних у точці злому.

Приклад 4.4. Знайти екстремаль функціонала

в класі кусочно-гладких кривих.

Розв’язання. ,

.

Запишемо умови Вейєрштрасса-Едмана (4.10):

(4.12)

Якщо , то , що суперечить існування кутової точки при . Тому . Розглянемо друге рівняння системи (4.12) на проміжках

1) та 2) .

1) : , .

Звідки

Перший розв’язок задовольняє умови .

Розглянемо другий розв’язок :

а) Звідки

Точка збігається з граничною точкою, а це суперечить умові .

б)

Таким чином, на проміжку екстремаль задається рівнянням .

2) :

Звідки

Перший розв’язок не задовольняє умову .

Розглянемо другий розв’язок :

а) Звідки .

Точка

б) Звідки

Точка

Таким чином, екстремаль зі зломом , яка задовольняє граничні умови має вигляд