3.3. Функція Вейєрштрасса. Дослідження на екстремум за допомогою функції Вейєрштрасса

Припустімо що в задачі (2.1) на екстремум функціонала з граничними умовами виконана умова Якобі і тому екстремаль , що проходить через точки і може бути включена в центральне поле, кутовий коефіцієнт якого дорівнює , тобто (рис.

Рис. 3.1.

Побудуємо приріст функціоналу , який утворюється при переході від деякої близької кривої до екстремалі .

. (3.18)

Розглянемо допоміжний функціонал

. (3.19)

Функціонал (3.19) на кривій () збігається з функціоналом , а з іншого боку він є інтегралом від повного диференціала і тому не залежить від вигляду контура інтегрування, який з’єднує точки А та В (мал. 3.1). Тому приріст (3.18) можна записати у вигляді

(3.20)

Функція, яка стоїть під знаком інтеграла, названа функцією Вейєрштрасса і позначається :

.

Таким чином, можна записати

(3.22)

і достатніми умовами для досягнення функціоналом на кривій екстремуму будуть наступні умови.

Для слабкого екстремуму:

1. Крива є екстремаллю, яка задовольняє граничні умови;

2. Екстремаль задовольняє умову Якобі (або екстремаль може бути включена в центральне поле екстремалей);

3. Функція не змінює знак у всіх точках близьких до кривої і для близьких до значень . У випадку маємо слабкий мінімум, а у випадку - слабкий максимум.

Для сильного екстремуму пункти 1 і 2 такі ж самі, а пункт 3 потрібно записати так: функція не змінює знак у всіх точках , близьких до кривої і для будь-яких значень . У випадку мінімуму , а у випадку максимуму .

Зауваження 3.5. В [5] доведено, що умова Вейєрштрасса є і необхідною умовою екстремуму.

Приклад 3.3. Дослідити на екстремум функціонал

з граничними умовами .

Розв’язання.

1. Знаходимо екстремаль даної варіаційної задачі: , (див. розділ 2, підрозділ 2.1), , , - екстремаль.

2. Перевіряємо виконання умови Якобі: , .

.

Функція не обертається в нуль на проміжку (0;1], тому підсилена умова Якобі виконується.

3. Перевіримо виконання умов Лежандра: . Підсилена умова Лежандра виконується. Тому на екстремалі функціонал досягає слабкого мінімуму.

4. Запишемо функцію Вейєрштрасса (3.21):

.

Для довільних значень функція може приймати як додатні, так і від’ємні значення. Тому сильний екстремум відсутній (див. зауваження 3.5).

З наведеного прикладу видно, що дослідження на екстремум за допомогою функції Вейєрштрасса пов’язане з незручними обчисленнями (навіть для такої досить простої задачі). Бажано було б спростити алгоритм перевірки знака функції .

Припустимо, що функція тричі диференційована за аргументом . Тоді за формулою Тейлора можна записати:

, де .

Підставимо отримане розкладання у вираз (3.21). Маємо:

. (3.39)

Формула (3.39) дозволяє зробити наступний висновок: функція зберігає знак, якщо зберігає знак . Якщо в точках екстремалі , то завдяки неперервності цієї функції, вона зберігає знак і в точках , близьких до кривої , і для значень , близьких до значень на кривій .

Наприкінці розділу сформулюємо алгоритм застосування достатніх умов екстремуму для функціонала (2.1).

Достатні умови слабкого мінімуму (максимуму) для функціонала (2.1): Якщо на екстремалі , яка задовольняє рівняння Ейлера (2.2) і граничні умови виконуються:

а) умова Якобі;

б) або умова Вейєрштрасса: функція Вейєрштрасса для точок , близьких до точок на екстремалі , і для , близьких до ; або підсилена умова Лежандра (у випадку, коли функція тричі диференційована по ): на екстремалі , то на досягається слабкий мінімум (максимум).

Достатні умови сильного мінімуму (максимуму) для функціонала (2.1): Якщо на екстремалі , яка задовольняє рівняння Ейлера (2.2) і граничні умови виконуються:

а) умова Якобі;

б) або умова Вейєрштрасса: функція Вейєрштрасса для точок , близьких до точок на екстремалі , і для довільних значень ; або умова Лежандра для точок , близьких до точок екстремалі , і для довільних значень , то на екстремалі досягається сильний мінімум (максимум).

Приклад 3.4. Дослідити функціонал

на екстремум.

Розв’язання.

1. Знайдемо екстремаль функціонала: , (див. розділ 2, підрозділ 2.1), , , , , - екстремаль функціонала, яка задовольняє задані граничні умови.

2. Перевіримо достатні умови екстремуму:

а) для перевірки умов Якобі запишемо рівняння Якобі у формі (3.11) або (3.13) на екстремалі з початковими умовами (3.14): ,

,

.

Для будь-яких значень : . Тобто виконується підсилена умова Якобі.

б) Функція тричі диференційована по . Перевіримо умову Лежандра:

. Функція не зберігає знак для будь-яких значень , тому достатні умови сильного екстремуму не виконується і питання існування умови сильного екстремуму залишається відкритим. Побудуємо функцію Вейєрштрасса (3.21):

Якщо приймає довільні значення, то приймає довільні значення і тому сильний екстремум відсутній (див. зауваження 3.5).

Перевіримо достатні умови слабкого екстремуму. На екстремалі . Тому, функціонал має слабий мінімум.

Приклад 3.5. Дослідити на екстремум функціонал: .

Розв’язання.

1. Знайдемо екстремалі функціонала:

,

,

- екстремаль функціонала, яка задовольняє граничні умови.

2. Перевіримо достатні умови екстремуму:

а) .

Записуємо рівняння Якобі з початковими умовами . Маємо:

,

. Функція для будь-яких значень в нуль не обертається. Тому виконується підсилена умова Якобі.

б) Функція тричі диференційоване по , тому застосуємо умову Лежандра: для будь-яких значень і . На екстремалі функціонал має сильний мінімум.