ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНГЕГРАЛ

Пусть функция определена на отрезке Допустим для простоты, что функция в указанном промежутке неотрицательна и .

Геометрически каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а вся сумма равна площади «ступенчатой фигуры», получающейся объединением всех указанных выше прямоугольников.

Очевидно, что при всевозможных разбиениях отрезка на части получим различные интегральные суммы, а следовательно, и различные «ступенчатые фигуры».

Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы длина наибольшего из отрезков стремилась к нулю.

Этот предел и называется определенным интегралом от функции на отрезке .

Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел, которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала. Он обозначается символом и читается «интеграл от а до b от функции по dx» или, короче, «интеграл от а до b от dx».

По определению:

Число а называется нижним пределом интегрирования, число b – верхним; отрезок – отрезком интегрирования.

Заметим, что всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Если интегрируемая на отрезке функция неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции aABb, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямыми х=а и х= b, т.е.

Основные свойства определенного интеграла

Все свойства сформулированы в предположении, что рассматриваемые функции интегрируемы в соответствующих промежутках.

1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

= 0.

2. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

= –

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

= +, где

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5. Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых:

Непосредственное вычисление определенного интеграла

Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула

Ньютона – Лейбница:

т.е. определенный интеграл равен разности значений любой первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:

1) найти неопределенный интеграл от данной функции; F(x)

2) в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний предел интеграла; F(в); F(а)

3) из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела: F(в) – F(а)

Пример 1: вычислить интеграл

Решение:

Применив указанное правило, вычислим данный определенный интеграл:

Пример 2: вычислить интеграл

Решение:

Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определенный интеграл:

Пример 3: вычислить интеграл

Решение:

Интеграл от разности функции заменим разностью интегралов от каждой функции:

Пример 4: вычислить интеграл

Решение:

Воспользуемся определением степени с дробным показателем, правилом деления суммы на число и вычислим определенный интеграл от каждого слагаемого отдельно:

Вычисление определенного интеграла методом подстановки.

Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем:

1) часть подинтегральной функции заменить новой переменной;

2) найти новые пределы определенного интеграла;

3) найти дифференциал от обеих частей замены;

4) все подинтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

5) вычислить полученный определенный интеграл.

Пример 5: вычислить интеграл

Решение:

Введем подстановку , тогда . Определим пределы интегрирования для переменной . При получаем получаем

Выразив подинтегральное выражение через и и перейдя к новым пределам, получим:

=

Пример 6: вычислить интеграл

Решение:

Произведем подстановку , тогда . Определим пределы интегрирования для переменной . При х=1 получаем при х=2 получаем .

Выразив подинтегральное выражение через и и перейдя к новым пределам, получим:

Пример 7: вычислить интеграл

Решение:

Положим , тогда и . Определим пределы интегрирования для переменной , .

Выразив подинтегральное выражение через и и перейдя к новым пределам, получим

Пример 8: вычислить интеграл

Решение:

Пример 9: вычислить интеграл:

Решение:

Сначала преобразуем подынтегральное выражение:

.

Затем вычислим интеграл от разности функций, заменив его разностью определенных интегралов от каждой функции:

.

Вычислим каждый интеграл отдельно:

Тогда