4.2. Задача з вільними границями

Окремим випадком задачі з рухомими границями є задача з вільними кінцями. Постанова її така: серед всіх кривих, кінці яких розташовані на двох вертикальних прямих , знайти ту, яка надає екстремум функціоналу (2.1), а саме

.

Для розглянутої задачі клас допустимих кривих ширший ніж у задачі з фіксованими граничними точками. Тому, якщо на якійсь кривій з вільними границями досягається екстремум, то екстремум досягається і на кривих зі спільними граничними точками. Отже, повинна виконуватися необхідна умова екстремуму (2.2).

Крім того, граничні точки переміщуються по вертикальним прямим і . Це значить, що .

Враховуючи вищенаведене, запишемо варіацію функціонала (4.2) і прирівняємо її до нуля:

(4.4)

У рівності (4.4) варіації і лінійно незалежні і відмінні від нуля. Тому рівність нулю буде досягатися лише в тому випадку, коли виконуються рівності

(4.5)

Зауваження 4.1. Якщо одна з граничних точок закріплена, наприклад , а права границя вільна, то умови (4.5) записуються тільки у точці .

(4.6)

Приклад 4.1. Якою плоскою кривою повинна рухатися важка матеріальна точка, щоб із положення за найкоротший час досягти вертикальної прямої .

Розв’язання. Запропонована задача була розглянута у прикладі 2.2 (задача про брахістохрону). Її розв’язок має вигляд

Залишається реалізувати другу умову (4.6), а саме .

Маємо: , , ,

Враховуючи те, що , (значення відповідає початковій точці ), знаходимо: .

Отже, остаточно отримуємо