5.1. Ізопериметричні задачі

За давніх часів ізопериметричними задачами називають задачі, де потрібно було знайти геометричні фігури, які мають найбільшу площу, а периметр цих фігур має задане стале значення (наприклад, задача Дідоші).

У наш час ізопериметричними задачами називають варіаційні задачі, в яких потрібно знайти екстремум деякого функціонала за наявністю так званих ізопериметричних умов.

Постановка ізопериметричної задачі. Задані дві функції і , які є неперервними і мають неперервні частинні похідні за всіма аргументами до другого порядку включно на відрізку . Серед всіх кривих , вздовж яких інтеграл

(5.1)

приймає задане стале значення (), знайти ту, вздовж якої функціонал (2.1)

(5.2)

набуває ектремального значення.

Теорема 5.1. (Ейлера). Якщо крива надає екстремум функціоналу (5.2) з граничними умовами:

(5.3)

і додатковою умовою

(5.4)

і якщо не є екстремаллю функціонала (5.4), то існує така стала , що крива є екстремаллю функціонала

, (5.5)

де .

Доведення. Припустимо що крива є екстремаллю функціонала (5.2) и не є екстремаллю функціонала (5.4).

На інтервалі візьмемо 2 довільні точки і і знайдемо приріст функціонала (5.2) за умови, що варіюється в околі точок і . У подальших перетвореннях буде застосована друга теорема про середнє значення.

Рис. 5.1.

, (5.5)

де , - площі «горбків», разом з .

Для довільних значень крива

(5.6)

не буде допустимою кривою.

Для того, щоб крива (5.6) була допустимою необхідно и достатньо, щоб виконувалася рівність , тобто

, (5.7)

де разом з , .

Виберемо точку таким чином, щоб .

де разом з . Позначимо і записуємо приріст функціонала (5.5), враховуючи рівність :

де разом з .

За умовою надає екстремальне значення функціоналу (5.2). Тому і .

Маємо:

. (5.8)

Рівність (5.8) якраз і є рівнянням Ейлера для функціонала (5.5).

Узагальнення теореми 5.1.

Теорема 5.2. Якщо вектор функція , , надає екстремум функціоналу

з граничними умовами

і додатковими умовами

і якщо не є екстремаллю функціоналів ,

то існують такі сталі , що вектор-функція задовольняє систему рівнянь Ейлера

,

складених для функціонала , де

.

Приклад 5.1 Знайти екстремаль функціонала , яка задовольняє граничні умови і інтегральну умову

Розв’язання.

1. Складемо функцію Лагранжа:

.

2. Запишемо рівняння Ейлера для функції і рівняння зв’язку: ,

.

3. Знайдемо загальний розв’язок рівняння Ейлера і

.

4. Визначимо і сталі , =1,2 з граничних умов і рівняння зв’язку:

Таким чином, екстремаль має рівняння