4.3. Задача з рухомими границями

Загальною варіаційною задачею для найпростішого функціонала (2.1) є задача з рухомими границями. Постановка її така: серед всіх гладких кривих, кінці яких розташовані на двох гладких заданих лініях і (початкова точка () рухається по кривій , а кінцева точка () - по кривій ) знайти ту, яка надає екстремум функціоналу

.

Для запису варіації функціоналу скористаємося загальною формулою (4.1). Варіації та , , не будуть лінійно незалежними. Зв'язок між ними (з точністю до нескінченно малих 1 порядку малості) можна записати у вигляді , . Тому формула (4.1) набуває вигляду

. (4.7)

Далі до функціонала застосуємо необхідну умову екстремуму . Враховуючи той факт, що та лінійно незалежні варіації, будемо мати рівняння Ейлера (2.2) і дві умови трансверсальності

(4.8)

Умови трансверсальності встановлюють зв'язок між кутовими коефіцієнтами і та і в граничних точках.

Приклад 4.2. Знайти умову трансверсальності для функціонала , початкова точка переміщується по кривій , а – довільна неперервна функція.

Розв’язання. Скористаємося другою умовою (4.8). Маємо:

,

,

.

У даному прикладі умова трансверсальності є звичайною умовою ортогональності екстремалі і кривої в граничних точках.

Приклад 4.3. Знайти криву, на якій функціонал може досягати екстремуму, якщо її лівий кінець розташований на кривій , а правий кінець – на кривій .

Розв’язання. . Запишемо рівняння Ейлера (2.2) і умови трансверсальності (4.8).

Рис. 4.2

Маємо:

З першого рівняння системи знаходимо: , - екстремаль функціонала.Розглянемо друге та третє рівняння системи:

.

.

Але Тому .

Екстремаль повинна проходити через точку яка лежить на параболі тобто через точку . Звідки находимо або . Таким чином, шукана екстремаль має рівняння .

Геометричне тлумачення цієї задачі полягає в тому, що знайдена гладка крива (пряма) мінімальної довжини, яка з’єднує дві задані криві і (рис.(4.2)). Ця довжина дорівнює

Кінцева границя інтегрування знайдена з умови перетину прямих і