Мультипликативные функции

Функция q(а) называется мультипликативной, если она удовлетворяет двум следующим условиям:

1. Эта функция определена для всех целых положительных а и не равна нулю по меньшей мере при одном таком а.

2. Для любых положительных взаимно простых a₁ и a₂ имеем:

q(a₁a₂) = q(a₁)q(a₂).

Пример: Нетрудно видеть, что мультипликативной является функция a^s, где s - любое вещественное или комплексное число.

Теорема 1: Для всякой мультипликативной функции q(а) имеем q(1) = 1.

Доказательство: Пусть q(a₀) не равно нулю. Находим

q(а₀) = q(a₀?1) = q(а₀)q(1), 1 = q(1).

Свойство (2) мультипликативной функции q(a) распространяется и на случай k > 2 попарно простых чисел a_l, а₂, а₃, ..., a_k.

Доказательство: Имеем:

q(a₁a₂a₃…a_k) = q(а₁)q(а₂а₃...а_k) = ... = q(а₁)q(а₂)q(а₃)...q(а_k).

В частности, находим

(1)

Теорема 2: Мы всегда построим некоторую мультипликативную функцию q(a), если положив q(1) = 1 и назначив произвольно значения для q(p^a), отвечающих положительным степеням простых чисел, в общем случае определим эту функцию равенством (1).

Доказательство: Если представлено в виде произведения a₁a₂ двух взаимно простых чисел а₁ и а₂, то справедливо тождество

q(a) = q(a₁)q(a₂),

левая часть которого является произведением чисел , отвечающих всем сомножителям вида числа а, а правая часть является тем же произведением, но разбитым на два взаимно простых произведения, одно из которых q(а₁) является произведением чисел , отвечающих всем сомножителям вида числа a_l, другое же q(а₂) является произведением чисел , отвечающих всем сомножителям вида числа а₂.

Пример: Мультипликативную функцию можно построить, взяв q(1) = 1 и q(p^a) = 2, если a > 0. Тогда при k > 0 будем иметь . В частности, найдем:

q(1) = 1, q(2) = 2, q(3) = 2,

q(4) = 2, q(5) = 2, q(6) = 4.

Теорема 3: Произведение q(а) = q₁(a)q₂(а) двух мультипликативных функций q₁(a) и q₂(а) также является мультипликативной функцией.

Доказательство: Имеем q(1) = q₁(1)q₂(1) = 1.

Кроме того, при (a₁a₂) = 1 находим

q(a₁a₂) = q₁(a₁a₂)q₂(a₁a₂) = q₁(а₁)q₁(а₂)q₂(a₁)q₂(а₂) =

= q₁(а₁)q₂(а₁)q₁(a₂)q₂(а₂) = q(a₁)q(а₂).

Доказанная теорема обобщается и на случай любого числа k > 2 мультипликативных функций

q₁(a), q₂(а), q₃(a),…, q_k(а).

Доказательство: Пользуясь ею последовательно, убедимся в мультипликативности произведений:

q₁(a)q₂(а)q₃(a) = (q₁(a)q₂(а))q₃(a),

q₁(a)q₂(а)q₃(a)q₄(a) = (q₁(a)q₂(а)q₃(a))q₄(a),

…

q₁(a)q₂(a)…q_k-1(a)q_k(a) = (q₁(a)q₂(a)…q_k-1(a))q_k(a).

Теорема 4: Пусть q(a) - мультипликативная функция - каноническое разложение числа а. Тогда, обозначая символом сумму, распространенную на все делители d числа a, будем иметь

.

(В случае a = 1 правая часть считается равной 1.)

Чтобы доказать это тождество, раскроем скобки в его правой части. Тогда получим сумму всех (без пропусков и повторений) слагаемых вида

;

0 £ b₁ £ a₁, 0 £ b₂ £ a₂, …, 0 £ b_k £ a_k,

А это (Глава 1, п. 5, Теорема 4) как раз и будет то, что стоит в левой части тождества. 3