6.Точки перегиба функции. Исследование функции на выпуклость.
График дифференцируемой функции y=f(x)называется выпуклым вниз (или вогнутым вверх) на интервале (a,b) если дуга кривой на этом промежутке расположена выше касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в любой точке x∈(a,b).
Если же на интервале (a,b) всякая касательная распологается выше дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз)
Точка (x0,f(x0)), в которой направление выпуклости графика функции меняется на противоположное, называется точкой перегиба
Достаточное условие точки перегиба.
Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности U0(x0) точки x0 в которой f′′(x0)=0или f′′(x0) не существует. Если при этом в интервалах (x0−δ,x0) и (x0,x0+δ)производная f′′(x) имеет противоположные знаки, то x0− точка перегиба.Рассмотрим график функции y = x3 :
Эта функция является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. В самом деле, y'' = 6x, но 6x > 0 при x > 0 и 6x < 0 при x < 0,следовательно, y'' > 0 при x > 0 и y'' < 0 при x < 0, откуда следует, что функция y = x3 является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x