Лекция 3 Геометрический смысл аргумента и модуля производной аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.
Рассмотрим комплекснозначную дифференцируемую в точке t и некоторой ее окрестности функцию действительной переменной z(t).
   | Рассмотрим точку z , дадим приращение Dz, a= arg Dz. Тогда . При угол наклона касательной к графику в точке
|
секущая переходит в касательную, 
, где
- 
=
Наличие ненулевой производной 
означает наличие касательной к графику функции с углом наклона к действительной оси, равным 
.
Рассмотрим теперь комплекснозначную аналитическую функцию комплексной переменной 
. Пусть 
, где 
- действительное число.
- комплекснозначная функция действительной переменной z(t), дифференцируемая в точке t и некоторой ее окрестности. Касательная к графику функции, по рассмотренному выше, имеет угол наклона к действительной оси равный 
.
По теореме о сложной функции 
, поэтому
. Следовательно, 
- аргумент производной аналитической функции . имеет смысл угла поворота касательной к кривой в точке 
при ее отображении посредством функции .
Так как 
, 
, то 
- модуль производной аналитической функции имеет смысл коэффициента растяжения при отображении посредством функции . Все это справедливо в тех точках, в которых производная отлична от нуля.
Если две кривые отображаются посредством аналитической функции 
, то угол наклона касательной к каждой кривой изменяется в точке z на один и тот же угол , поэтому углы между кривыми сохраняются при отображении посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля).
Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным. Поэтому отображение посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля) является конформным.
Пример. Линейное отображение 
(
), как было показано выше, сводится к повороту на угол 
и растяжению в 
раз.