3.Предел последовательности при и предел функции при . Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции).
Предел числовой последовательности
Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу 
поставлено в соответствие вполне определенное число 
, то говорят, что задана числовая последовательность 
:
.
Другими словами, числовая последовательность - это функция натурального аргумента: 
.
Числа 
называются членами последовательности, а число - общим или -м членом данной последовательности.
Примеры числовых последовательностей:
1) 
(монотонная, неограниченная),
2) 
(не монотонная, ограниченная)
3) 
Рассмотрим числовую последовательность 
, изобразив ее точками на числовой оси (рис.4.1):
Видно, что члены последовательности с ростом как угодно близко приближаются к 0. При этом абсолютная величина разности 
становится все меньше и меньше.
Определение. Число 
называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа 
, найдется такой 
(зависящий от 
), что для всех членов последовательности с номерами 
верно неравенство:
.
Обозначают: 
. Или 
при 
.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.