1.Понятие функции, способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры.

Понятие функции одной переменной

Определение. Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то тогда говорят, что на множестве задана функция.

При этом называется независимой переменной (или аргументом), - зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.

Множество называется областью определения (или существования) функции, а множество - областью значений функции.

Если множество специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной , т.е. множество таких значений , при которых функция вообще имеет смысл.

Способы задания функций:

а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида .

Этот способ наиболее часто встречается на практике.

Например, функция задана аналитически. Не следует, однако, смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция имеет два аналитических выражения: (при ) и (при ).

б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции , например, таблица логарифмов, гармонические функции и т.д.

, , .

в) Графический способ состоит в изображении графика функции - множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции .

г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: , если - иррационально.

Основные свойства функций

1) Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений из области определения и нечетной, если. В противном случае функция называется функцией общего вида.

Пример.

а) Функция - четная (рис.3.3 а). т.к ;

б) Функция - нечетная (рис.3.3 б). ;

в) Функция - общего вида (рис.3.3 в). .

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2) Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

Пример.

1) Функция - на интервале монотонно возрастает (рис.3.4а).

2) Функция - на интервале монотонно убывает (рис.3.4 б).

3) Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого . В противном случает функция называется неограниченной.