Функции [x] и {x}

В первую очередь мы рассмотрим две следующие функции, определенные для всех вещественных значений x:

Целую часть от x, обозначаемую символом [x], представляющую собою наибольшее целое число, не превосходящее x.

Дробную часть от x, обозначаемую символом {x}, представляющую собою разность x - [x] между x и целой частью от x.

Пример:

[7] = 7, [2, 3] = 2, [-4,75] = -5,

{7} = 0, {2, 3} = 0,3, {-4,75} = 0,25.

Теорема 1: Показатель, с которым данное простое p входит в произведение n!, равен

(1)

Доказательство: Число сомножителей произведения n!, кратных p, равно среди них число кратных р² равно , среди последних число кратных р³ равно , и т.д. Сумма (1) и даст искомый показатель, так как каждый сомножитель произведения n!, кратный p^m, но не p^m+1, нами сосчитан точно m раз, как кратный p, p², p³, ..., наконец, p^т.

Пример: Показатель, с которым число 3 входит в произведение 367!, равен

. 2