Функция Мёбиуса

Функция Мёбиуса - мультипликативная функция, определённая равенствами: m(p) = -1, m(p^a) = 0, если a > 1.

Из этого определения, в частности, следует, что:

1. Если в каноническом разложении числа а по меньшей мере один из показателей a₁, …, a_k превосходит 1 (если а делится на квадрат, отличный от 1), то имеем m(а) = 0.

2. В противном случае, т. е. в случае, если каноническое разложение числа а имеет вид a = р₁...р_k, имеем m(a) = (-1)^k.

Пример:

m(1) = 1, m(5) = -1, m(9) = 0,

m(2) = -1, m(6) = l, m(10) = 1,

m(3) = -l, m(7) = -1, m(11) = -1,

m(4) = 0, m(8) = 0, m(12) = 0.

Теорема 1: Пусть q(а) – мультипликативная функция - каноническое разложение числа а. Тогда имеем:

(в случае а = 1 правую часть считаем равной 1).

Доказательство: Функция q₁(a) = m(a)q(a), как произведение мультипликативных функций m(a) и q(а), сама является мультипликативной функцией. Применяя к ней тождество (п. 2, Теорема 4) и имея в виду, что q₁(p) = -q(p) и что q₁(p^a) = 0, если a > 1, мы и убедимся в справедливости нашего утверждения.

В частности, полагая q(a) = 1, получим

Полагая же в , получим

Теорема 2: Пусть целым положительным d = d₁, ..., d_n отвечают любые вещественные, или комплексные f = f_l, ..., f_n. Тогда, обозначая символом S' сумму значений f, отвечающих значениям d, равным 1, и символом S_d сумму значений f, отвечающих значениям d, кратным d, будем иметь

,

где d пробегает целые положительные числа, делящие хотя бы одно значение d.

Доказательство: (Теорема 1), имеем

.

Собирая же вместе члены с одними и теми же значениями d и вынося при этом m(d) за скобки, в скобках получим сумму тех и только тех значений f, которые отвечают значениям d, кратным d, т. е. как раз и получим сумму S_d. 5