Математичне моделювання в імунології

Імунітет - складний комплекс відповідних реакцій організму на вторгнення антигенів - чужорідних об’єктів або змінених власних клітин, тканин, білків. Специфічна імунна реакція на молекулярному рівні починається з того, що спеціалізовані плазматичні клітини виробляють у великій кількості білкові молекули антитіла, які нейтралізують антигени.

Розглянемо модель роботи імунного апарату під час тривалої інфекційної хвороби. Дана модель використовується в клінічній практиці в лікуванні вірусного гепатиту, гострої пневмонії.

При дослідженні характеру розв’язку математичної моделі отримано чотири основні форми перебігу інфекційної хвороби. На мал.1 показані можливі випадки динаміки імунної реакції (Х - к-сть антигенів, t- час).

Перебіг субклінічної форми (1) розвивається без фізіологічних розладів в організмі та без зовнішніх проявів. Засоби імунного захисту легко знищують антигени, не даючи їм розмножуватися до небезпечних розмірів.

Гостра форма (2) - у цьому випадку організм атакується невідомим антигеном і у великій кількості. На перших етапах відбувається його посилене розмноження. Коли ж імунна система виробляє проти нього достатню кількість антитіл, кількість антигенів різко зменшується.

Хронічна форма (3) - встановлюється динамічна рівновага антигенів та антитіл. Виникає стійка форма хвороби.

Летальна форма (4) - імунна відповідь запізнюється і більша кількість антигенів викликає в організмі руйнівні зміни.

Математична модель імунної реакції на інфекційні хвороби становить собою три взаємозалежні диференційні рівняння:

Де Х - кількість антигенів; Y - кількість антитіл; Z - кількість плазматичних клітин, які виробляють антитіла.

Взаємозв’язок “хвороботворного початку” - антигенів та імунних сил організм - у в цій математичній моделі має характер, подібний до взаємозв’язку в системі “хижак - жертва”. Ось чому два перші рівняння схожі на вивчені в попередньому розділі. “Жертвою” тут виступає чужорідний агент, який у моделі буде кількісно описуватися концентрацією потрібного антигена Х. “Хижаком” виступають анитіла Y, що утворені від кількості Z цих клітин.

Не будемо детально обговорювати виведення цих рівнянь. Лише зауважимо, що в даній моделі враховані такі фактори:

1. Розмноження антигенів (йдеться про розмноження чужорідних вірусів та бактерій в організмі власника). Коефіцієнт розмноження А обчислюється

обернено пропорційно до температури, тобто А= А(Т)= А(0)/Т. Цим самим буде врахований пригнічувальний вплив високої температури на розмноження антигенів.

1. Самостійний розпад антигенів та антитіл із коефіцієнтами C i L.

2. Самостійна загибель плазматичних клітин із коефіцієнтом N.

3. Взаємодія антиген - антитіло в реакції аглютинації пропорційна ймовірності зустрічі потрібного антитіла з антигеном, тобто X-Y.

4. Надходження антитіл у кров пропорційне концентрації клітин Z.

5. Швидкість утворення плазматичних клітин визначається залежністю не просто від концентрації антигену Х, а від певної функції F(X). Ця функція на даній моделі представлена у вигляді гіперболічної залежності:

F(X) = Х / (Q + X) (9)

Коефіцієнт М вважається пропорційно залежним від температури (М=(М(Т)).

Дослідження математичної моделі полягає в розв’язуванні отриманої системи диференційних рівнянь за відомих значень коефіцієнтів А, B, C, D, K, L, M, N та початкових умов X(0), Y(0), Z(0). Особливо важливо при цьому те, що одна й та сама модель за різних початкових умов або коефіцієнтів дає зовсім різну динаміку процесу. Значення цих коефіцієнтів отримують за результатами спеціальних біохімічних аналізів; у кожної людини вони індивідуальні.

Пояснимо вищезазначене на прикладі.

Однак, математична модель може допомогти лікареві і в лікуванні. Наприклад, у медичній практиці лікування деяких інфекційних хвороб проводять методом загострення, тобто переведенням хронічної форми в гостру з подальшим одужанням (мал. 2). Для цього потрібно штучно загострити хворобу, тобто ввести в організм у певний момент часу (t i,t 2) певну кількість Р біостимулятора непатогенного антигену, який буде конкурувати, не розмножуватися; він через деякий час викличе підсилену імунну відповідь, яка викличе швидке одужання.

Дослідження математичної моделі дозволяє знайти кількість біостимулятора та момент часу його введення в організм хворого, за яких графік перебігу хвороби набуває бажаної форми.

Потім лікар на основі такого дослідження моделі на ЕОМ може ввести знайдену дозу біостимулятора хворому.

Перехід хронічної форми в гостру можна здійсгити за допомогою температурного ефекту. В цій математичній моделі значення всіх коефіцієнтів сталі, за винятком коефіцієнтів А та М, які відповідають за розмноження антигенів та утворення плазматичних клітин. Значення цих двох коефіцієнтів при різних температурах організму різні, тобто, змінюючи штучно температуру організму чи його частини в певних межах за допомогою лікарських чи фізіотерапевтичних засобів, які не шкодять імунній системі, можна отримати потрібний результат. У цьому разі не обійтися без дослідження математичної моделі на ЕОМ. Багаторазовий розрахунок моделі при різних значеннях температури Т може дозволити найти таку температуру, при якій графік перебігу хвороби набуває потрібної форми.

12.4.