13.Достаточные признаки монотонности функции (один из них доказать).

Признаки возрастания и убывания функции.

Определение. Функция называется возрастающей на интервале , если для любых точек из этого интервала при выполнении условия выполняется неравенство (большему значению аргумента соответствует большее значение функции).

Определение. Аналогично, функция называется убывающей на интервале , если для любых точек из этого интервала при выполнении условия выполняется неравенство (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

Возрастающие на интервале и убывающие на интервале функции называются монотонными на интервале .

Знание производной дифференцируемой функции позволяет находить интервалы ее монотонности.

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой на интервале функции положительна на интервале , то функция монотонно возрастает на этом интервале.

Доказательство.

Тогда по следствию из теоремы Лагранжа , где . По условию на всем интервале , то есть , следовательно, . Таким образом, действительно возрастает на , что и требовалось доказать.

Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой на интервале функции отрицательна на интервале , то функция монотонно убывает на этом интервале.

Алгоритм нахождения интервалов монотонности функции . Найти . Найти нули производной. На числовой оси отметить область определения , нули производной и те точки, где производная не существует. На каждом из полученных интервалов определить знак производной . Сделать вывод о возрастании или убывании функции на каждом интервале.