№21. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Абсолют. и условная сходимость рядов.

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда или признак абсолютной сходимости

Пусть u₁+u₂+…+u_n+…= (20) знакопеременный ряд и пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов │u₁│+│ u₂│+…+│ u_n │+…=│ u_n │.

Тогда ряд (20) тоже сходится. Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд (u₁+│u₁│)+(u₂+│u₂│)+…+(u_n+│u_n│)+…= (u_n+│u_n│). (22)

Очевидно, 0≤ u_n+│u_n│≤2│u_n│ при всех n=1, 2, … . Ряд (21) сходится по условию, поэтому сходится ряд 2│u_n│, тогда по признаку сравнения сходится ряд (22). Ряд (20) представляет собой разность двух сходящихся рядов (22) и (21), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.

Замечание.

Обратное утверждение неверно. Если данный ряд сходится, то ряд, составленный из абсолютных величин его членов, может и расходиться. Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд расходится (это гармонический ряд).

Пусть дан ряд: u1+u2…+un=(1), где un – может быть как >0, так и =0: Если знакочередующийся ряд сх-ся условно. то он и просто так сх-ся, при этом: