12.Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем.

Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) на концах отрезка принимает разные значения, т.е.

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка , в которой производная функции равна нулю: .

Геометрический смысл теоремы Ролля. При выполнении условий теоремы внутри отрезка найдется точка , в которой касательная, проведенная к графику функции , параллельна оси (см. рис. 1). Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка , в которой выполняется равенство:.

Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что при выполнении условий теоремы внутри отрезка найдется точка , в которой касательная, проведенная к графику функции , параллельна хорде AB. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.