15.Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).
Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть в точке 
функция 
непрерывна, а производная 
при переходе через точку меняет знак.
– точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «–», и минимума, если с «–» на «+». Доказательство. Пусть 
при 
и 
при 
.
По теореме Лагранжа
, где 
.Тогда если 
, то 
; поэтому 
и 
, следовательно, 
, или 
. Если же 
, то 
; поэтому 
и 
, следовательно, или 
.
Таким образом доказано, что 
в любых точках вблизи , т.е. – точка максимума функции 
.
Доказательство теоремы для точки минимума проводится аналогично. Теорема доказана.
Если при переходе через точку производная не меняет знак, то в точке экстремума нет.
Теорема (второе достаточное условие экстремума). Пусть в точке производная дважды дифференцируемой функции 
равна 0 (
), а ее вторая производная в этой точке отлична от нуля (
) и непрерывна в некоторой окрестности точки . Тогда – точка экстремума 
; при 
это точка минимума, а при 
это точка максимума.
Алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума.
1. Найти производную.
2. Найти критические точки функции.
3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов.
4. Найти экстремальные значения функции.
Алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью второго достаточного условия экстремума.
1. Найти производную 
.
2. Найти вторую производную 
.
3. Найти те точки, в которых 
.
4. В этих точках определить знак .
5. Сделать вывод о существовании и характере экстремумов.
6. Найти экстремальные значения функции.