Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.

1.) Признак сравнения 1. Пусть для членов рядов (а) и (b) выполняется неравенство 0 £ u_n £ v_n , тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда (a) и из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b).

Док-во. Частичные суммы ряда (а) - s_n и ряда (b) – S_n связаны неравенством 0£s_n £ S_n и условием сходимости ряда (b) S_n < S. Это устанавливает верхний конечный предел на s_n : 0 £ s_n £ S_n < S , т.е. ряд (а) сходится.

Пр. Определить сходимость ряда . Введем второй ряд . Это геометрическая прогрессия с q = 1/5. Она сходится. Из сравнения членов u_n = 1/n5ⁿ 1 расход., при l = 1 – сомнительный случай

Док-во. Отношения (u_{n + 1} / u_n ) образуют вспомогательную числовую последовательность, которая может сходится или расходится. Необходимое условие сходимости : Для всякого e > 0 существует такое N , что при n > N выполняется неравенство l - e < u_{n + 1} / u_n < l + e , т.е. с ростом n член последовательности оказывается в сколь угодно малой e - окрестности точки l .

Пусть l < 1, e мало и q = l + e < 1 , тогда из условия u_{N + 1} / u_N < q следует u_N+1 1 обобщенный гармонический ряд сходится, а при a 1 расходится.