5.Бесконечно малые величины (определение). Свойства бесконечно малых (одно из них доказать). Бесконечно большие величины, их связь с бесконечно малыми.

Бесконечно малые величины

Определение. Функция называется бесконечно малой величиной при или при , если ее предел равен нулю:

.

Свойства бесконечно малых величин

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечного малых величин есть величина бесконечно малая.

По условию и - бесконечно малые величины при . Это означает, что для любого найдутся такие числа , что для всех и удовлетворяющих условиям:

и (1.1)

выполняются соответствующие неравенства:

и . (1.2)

Если взять в качестве числа минимальное из чисел и , т.е.

.

Используя свойство абсолютных величин, т.е. , придем к более сильному неравенству:

(1.3)

Итак, для любого существует такое , что для всех и удовлетворяющих условию верно неравенство (1.3). А это означает, что функция есть величина бесконечно малая.

2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в т.ч. на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая.

3) Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Бесконечно большие величины

Определение. Функция называется бесконечно большой при , если ее предел равен бесконечности:

.

Свойства бесконечно больших величин

1) Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

2) Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

3) Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами

Теорема. Если функция есть бесконечно малая величина при (), то функция является бесконечно большой при (). И, наоборот, если функция бесконечно большая при (), то функция есть величина бесконечно малая при ().