21.Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства (одно из свойств доказать).
Понятие первообразной и неопределенный интеграл
Определение. Функция 
называется первообразной функцией для функции 
на промежутке 
, если в каждой точке этого промежутка 
.
Теорема. Если 
и 
- первообразные для функции на некотором промежутке , то найдется такое число 
, что будет справедливо равенство:
.
Определение. Совокупность всех первообразных функции 
на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается 
, где 
- знак интеграла, 
- подынтегральная функция, 
- подынтегральное выражение.
Таким образом:
,
где 
- некоторая первообразная для , произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла
1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. 
.
? Доказательство. Дифференцируя левую и правую части равенства 
, получаем: 
.■
2) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. 
.
3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. 
.
4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. 
, где 
- некоторое число.
5) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. 
.
Некоторые табличные интегралы
 ,
|  |  |  |
 ,
|  |  |  , |
 |  |  |
|
