Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.

1.) Признак сравнения 1. Пусть для членов рядов (а) и (b) выполняется неравенство 0 £ un £ vn , тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда (a) и из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b).

Док-во. Частичные суммы ряда (а) - sn и ряда (b) – Sn связаны неравенством 0£sn £ Sn и условием сходимости ряда (b) Sn < S. Это устанавливает верхний конечный предел на sn : 0 £ sn £ Sn < S , т.е. ряд (а) сходится.

Пр. Определить сходимость ряда . Введем второй ряд . Это геометрическая прогрессия сq=1/5. Она сходится. Из сравнения членов un= 1/n5n 1 расход., при l = 1 – сомнительный случай

Док-во. Отношения (un + 1 / un ) образуют вспомогательную числовую последовательность, которая может сходится или расходится. Необходимое условие сходимости : Для всякого e > 0 существует такое N , что при n > N выполняется неравенство l - e < un + 1 / un < l + e , т.е. с ростом n член последовательности оказывается в сколь угодно малой e - окрестности точки l .

Пусть l < 1, e мало и q = l + e < 1 , тогда из условия uN + 1 / uN < q следует uN+1 1 обобщенный гармонический ряд сходится, а при a 1 расходится.