16. Теорема Гильберта – Шмидта (док-во сходимости).

Теорема: Если ф-цию f(x) м.представить в виде:

где g(x) непрерывна на пр-ке [a,b], то ф-цию f(x) м.

по собственным ф-циям ядра, абсолютно и равномерно сходящегося в пр-ке [a;b].

Примечание: если f(x) мб представлена по ф-ле (1), она называется представимой ч/з ядро ИУ.

Док-во: Сходимость. Введём обозначение

Из общего принципа сходимости ряда д/любого сколь угодно малого «+» знач-я l найдётся такое зн-е N, зависящее от e, но не от x, N=N(e), что

Домножим (1) на собственную ф-цию y_K(x), òdx.

Подставим в (5) выр-е (4) д/скалярного пр-я и применим к правой части этого нер-ва нер-во Коши-Буняковского:

В правой части (6) под знаками корней нах.суммы квадратов коэф-тов разложения в ряд по собственным ф-циям ф-ции g(x) и ядра K(x,t). Сл-но, д/этих сумм м. получить оценки с помощью нер-ва Бесселя:

Т.к.ф-ция g(x) непрерывна на пр-ке [a;b] по усл-ю теоремы, то интеграл от квадрата этой ф-ции принимает конечное зн-е. Тогда

т.к. M, (b–a) – конечн.зн-я, d_NP®0 при n®¥. Тем самым доказали сходимость ряда (2).