№50. Функциональные ряды, область сходимости функциональных рядов. Равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса.

Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем.

Доказательство: методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [a,b]. Из любой последовательности (x_n) этого сегмента можем выделить подпоследовательность , сходящуюся к .

Пусть f не ограничена на сегменте [a;b], например, сверху, тогда для всякого натурального найдется точка , что . Придавая n значения 1,2,3,…, мы получим последовательность (x_n) точек сегмента [a;b] для которых выполнено свойство f(x₁)>1,f(x₂)>2,f(x₃)>3,…,f(x_n)>n…

Последовательность ограничена и поэтому из нее по теореме можно выделить подпоследовательность _>>, которая сходится к точке : (1)

Рассмотрим соответствующую последовательность .

С другой стороны, учитывая определение непрерывной функции по Гейне из (1) будем иметь (3)

Получаем равенства (2) и (3) противоречат теореме (о единственности предела). Это противоречие и доказывает справедливость Т. Аналогично доказывается ограниченность функции снизу. Ч.Т.Д.

Замечание 1

Таким образом, если f непрерывна на [a;b], то ее множество значений ограничено и поэтому существует конечные верхняя и нижняя грань функции.

, , но открыт вопрос о достижении функции своих граней.

Замечание 2

Если слово сегмент в условии теоремы заменить словом интервал или полуинтервал, то теорема может и нарушиться. Пример, , но функция не ограничена на этом интервале.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса)

Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения ).

Доказательство: Пусть , , . По первой теореме Вейерштрасса _>. Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е.

Докажем, например, существование точки x₂. По определению верхней грани имеем . Предположим противное, т.е. точки x₂, в которой f(x₂)=d на [a;b], тогда на [a;b] выполняется условие f(x)0. Далее введем вспомогательную функцию . на [a;b] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [a;b] функций и ), поэтому по первой Т. Вейерштрасса на [a;b] ограничена. Это означает, что при некотором М>0 , отсюда имеем . Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки х₂ такой, что f(x₂)=d. Аналогично доказывается существование точки , такой что f(x₁)=c.

Следствие

Если f непрерывна и непостоянна на [a;b], то образ этого отрезка [a;b] при отображении f будет так же отрезок, т.е. непрерывный непостоянный образ отрезка есть отрезок

Док-во: В самом деле образом отрезка [a;b] при отображении f будет отрезок [c;d], где , а , что следует из второй теоремы Больцано-Коши и второй Т. Вейерштрасса Ч.Т.Д.