17. Теорема Гильберта – Шмидта (суммирование).
Теорема: Если ф-цию f(x) м.представить в виде:
где g(x) непрерывна на пр-ке [a,b], то ф-цию f(x) м.
представить в виде ряда
по собственным ф-циям ядра, абсолютно и равномерно сходящегося в пр-ке [a;b].
Примечание: если f(x) мб представлена по ф-ле (1), она называется представимой ч/з ядро ИУ.
Док-во: Н.показать, что разложение (2) единственно возможное. Д/этого введём в рассмотрение ф-цию
h(x) непрерывна на пр-ке [a;b], т.к. f(x) непрерывна согласно (1). Ряд по непрер.ф-циям также явл. непрерывной ф-цией. Если удастся показать, что
то это б.означать, что h(x)º0. Домножив (3) на h(x), проинтегрируем:
Отдельно р-м (yK,h). Домножим (3) на yK (x), òdx
т.е. показали, что ф-ция h(x) ортогональна всем собственным ф-циям yK(x).
Воспользуемся билинейной формулой д/ядра ИУ
Ранее было показано, что
