10. Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.
Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:
Теорема Абеля.
Пусть 
— степенной ряд с комплексными коэффициентами и радиусом сходимости 
.
Если ряд 
является сходящимся, тогда:
.
, можно считать 
. Также (необходимым подбором 
) можно предположить 
. Обозначим 
частичные суммы ряда 
. Согласно предположению 
и нужно доказать, что 
.Рассмотрим 
. Тогда (приняв 
):
Отсюда получается 
.
Для произвольного 
существует натуральное число 
, что 
для всех 
, поэтому:
Правая часть стремится к 
когда 
стремится к 1, в частности она меньше 
при следовании 
к 1.
Интервал сходимости степенного ряда Рассмотрим функцию 
. Ее областью определения является множество значенийx, при которых ряд сходится.
Радиус сходимости степенного ряда Если интервал сходимости представляется в виде (x0 − R, x0 + R), где R > 0, то величина R называетсярадиусом сходимости. Степенной ряд сходится абсолютно в каждой точке интервала сходимости. Сходимость в граничных точках x0 − R и x0 + R устанавливается отдельно.
Радиус сходимости по признаку Даламбера
Радиус сходимости по радикальному признаку Коши
