Определение радиуса сходимости и исследование сходимости ряда на границе круга сходимости.
Рассмотрим монотонно убывающую последовательность 
, такую, что в точке 
степенной ряд 
расходится.
, то степенной ряд будет сходиться (ряд из нулей), поэтому рассматриваемая последовательность ограничена снизу нулем. По теореме Вейерштрасса монотонно убывающая, ограниченная снизу числовая последовательность имеет предел. То есть 
. Такое число 
называется радиусом сходимости степенного ряда. Следовательно, степенной ряд абсолютно сходится в круге 
сходимости степенного ряда.
Теорема. Степенной ряд равномерно сходится внутри круга сходимости.
Доказательство. Пусть 
. Выберем 
, например 
. На окружности 
степенной ряд сходится абсолютно, так как эта окружность лежит внутри круга сходимости. Тогда 
(
не зависит от 
), тогда в области 
степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса (замечание в доказательстве теоремы Абеля).
Следствие.
Внутри круга сходимости справедливы теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании (по любой кусочно-гладкой дуге, принадлежащей кругу сходимости) и дифференцировании ряда.Теорема. При почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не меняется.
Доказательство. Рассмотрим ряд из модулей членов степенного ряда (это – знакоположительный числовой ряд в конкретной точке) и определим радиус сходимости по признаку Даламбера.
.
Продифференцируем почленно степенной ряд 
, перейдем к ряду из модулей и найдем радиус сходимости по признаку Даламбера.
.
Таким образом, при почленном дифференцировании радиус сходимости степенного ряда не меняется. Он не меняется и при почленном интегрировании, иначе он изменился бы при почленном дифференцировании.