№17. Необходимое условие сходимости ряда. Критерий Коши (необходимое и достаточное условие сходимости ряда).
Необходимое условие сходимости ряда (критерий Коши). Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого 
существовало число 
такое, что при 
и 
(n и p – натуральные числа) было выполнено неравенство 
.
. Теорема 4: Если ряд 
сходится, то его общий член стремиться к нулю, т.е. .
Доказательство. По условию ряд сходится. Обозначим через S его сумму. Рассмотрим частные суммы ряда 
и 
. Отсюда 
. Т.к. 
и 
при 
, то 
.
является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда. Достаточные условия сходимости рядов. Признак сравнения 1.
Теорема 5: Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена. Доказательство.
Необходимость. Пусть ряд сходится. Это значит, что последовательность его частичных сумм имеет предел. Всякая сходящая последовательность является ограниченной.
Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда ограничена. Т.к. ряд
с неотрицательными членами, то его частичные суммы образуют не убывающую последовательность: 
. Монотонная ограниченная последовательность сходится, т.е. сходится ряд
Признак сравнения 2.
Теорема 6: Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и 
и для всех n выполняется неравенство 
. Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из сходимости ряда следует сходимость ряда .
и 
соответственно частичные суммы рядов и . Из неравенства следует, что 
(7) Если ряд сходится, то по теореме 5 (необходимость) последовательность его частичных сумм ограничена, т.е. для любого n 
, где М – некоторое число. Но тогда по формуле (7) и 
, откуда по той же теореме 5 (достаточность) следует, что ряд сходится. Если же ряд расходится, то ряд также расходится, т.к., допустив сходимость ряда получим по только что доказанному сходимость ряда , а это противоречит условию теоремы.