№44. Сходимость и сумма числового ряда. Необходимый признак сходимости. Критерий сходимости Коши (необходимое и достаточное условие сходимости ряда).

Пусть — последовательность чисел. Число называется n-ой частичной суммой ряда .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм S_n, если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут .

Свойство 1. Если ряд

(1.1) сходится и его сумма равна S, то ряд

(1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд , а их суммы равны S₁ и S₂ соответственно, то сходятся и ряды , причём сумма каждого равна соответственно .

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел. Этот предел называется суммой сходящегося ряда.

Ряд u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n + ... может сходиться лишь в том случае, когда член u_n (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

Критерий Коши в ответе № 17.