№41. Ряды с комплексными членами. Абсолютная сходимость. Радиус сходимости степенного ряда.
Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.
19.4.1.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел z1, z2, z3, …, zn, … .Действительную часть числа zn будем обозначать an, мнимую - bn (т.е. zn = an + i bn, n = 1, 2, 3, …). Числовой ряд - запись вида 
.
Частичные суммы ряда: S1 = z1, S2 = z1 + z2, S3 = z1 + z2 + z3, S4 = z1 + z2 + z3 + z4, …, Sn = z1 + z2 + z3 … + zn, … Определение. Если существует предел S последовательности частичных сумм ряда при n → ∞, являющийся собственным комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут S = z1 + z2 + z3 + … + zn + … или S = 
.
Найдём действительные и мнимые части частичных сумм:
Sn = z1 + z2 + z3 + … + zn = (a1 + i b1) + (a2 + i b2) + (a3 + i b3) + … + (an + i bn) = (a1 + a2 + a3 +…+ an) + + i(b1 + b2 + b3 + ... + bn) = σn + iτn, где символами σn и τn обозначены действительная и мнимая части частичной суммы.
Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной и мнимой частей. Таким образом, ряд с комплексными членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды, образованные его действительной и мнимой частями. На этом утверждении основан один из способов исследования сходимости рядов с комплексными членами. Пример. Исследовать на сходимость ряд 
.
Выпишем несколько значений выражения 
:
дальше значения периодически повторяются. Ряд из действительных частей: 
; ряд из мнимых частей 
; оба ряда сходятся (условно), поэтому исходный ряд сходится. Абсолютная сходимость.
Определение. Ряд 
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд 
, составленный из абсолютных величин его членов.
Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными членами, легко доказать, что если сходится ряд 
, то обязательно сходится ряд . (|an| ≤ |zn|, |bn| ≤ |zn|, поэтому ряды, образованные действительной и мнимой частями ряда , сходятся абсолютно). Если ряд сходится, а ряд 
расходится, то ряд называется условно сходящимся.
Ряд - ряд с неотрицательными членами, поэтому для исследования его сходимости можно применять все известные признаки ( от теорем сравнения до интегрального признака Коши).
ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА: lim(nà∞)Un+1/Un =ρ, >1 – сходится, 0, |Un+1|=Cn+1|x|(c.n+1), |Un|=Cn|x|(c.n),
lim(nà∞)Cn+1|x|(c.n+1)/Cn|x|(c.n)= lim(nà∞)|x|Cn+1/Cn=
=|x| lim(nà∞)Cn+1/Cn. Пусть lim≠0 существует. LIM=1/R, R>0,
|x|*1/R