Исследуем сходимость степенного ряда на границе круга сходимости.

Рассмотрим ряд из модулей на границе круга сходимости .

1) Если ряд из модулей на границе круга сходимости сходится, то исходный степенной ряд абсолютно сходится на всей границе.

В самом деле этот ряд является мажорантным для степенного ряда в любой точке границы.

2) Если , то исходный степенной ряд расходится на всей границе.

В этом случае , и не выполняется необходимый признак сходимости для исходного степенного ряда на всей границе круга сходимости. Поэтому исходный степенной ряд расходится на всей границе.

3) Если ряд из модулей на границе круга сходимости расходится, но , то исходный степенной ряд сходится в одних точках границе и расходится в других. В этом случае для того, чтобы исследовать сходимость в точке границы, надо подставить ее в качестве в степенной ряд и исследовать сходимость полученного числового ряда.

Приведенные выше примеры 3, 4, 5 (после критерия Коши): ряд , ряд , ряд иллюстрируют все три случая. Первый ряд расходится на всей границе , так как на ней не выполняется необходимый признак сходимости ряда. Второй ряд сходится на всей границе, третий ряд сходится в одних точках границы и расходится в других.

Теорема. Сумма степенного ряда является аналитической функцией в его круге сходимости (без доказательства).