В. ВЫВОД ПОНЯТИЯ «УЧЕНИЕ О ПРОТЯЖЕННОСТИ»  

Совсем простое понятие становления дает непрерывную форму.

Противоположность дискретного и непрерывного (как и все подлин&ные противоположности) текуча, так что дискретное можно рассматривать как непрерывное, а непрерывное, наоборот, как дискретное.

5 і Каждое особенное (№ 3) становится таковым благодаря наличию различного, посредством которого оно оказывается со&подчиненным некоторому другому особенному, а также благода&ря наличию одинакового, или равного, посредством которого оно - вместе с другим особенным - оказывается подчиненным од&ному и тому же всеобщему. То, что возникает из одинакового, мы можем назвать алгебраической формой, а то, что возникает из различного - комбинаторной формой.

Противоположность одинакового (равного) и различного точно так же текуча. Одинаковое различно уже постольку, поскольку одно и другое, равное ему, некоторым образом разделены (без этой раздельности то и другое было бы лишь одним и тем же, стало быть, не равным); различное же одинаково, поскольку одно и другое связано посредством применяющегося к ним дейст&вия, поэтому одно и другое есть нечто связываемое. Но именно поэтому оба члена никоим образом не смешиваются друг с другом, так что к ним можно было бы прикладывать некую мерку, позволяющую определить, сколько в обоих представлениях одинакового, а сколько различного. Если даже одина&ковому (равному) некоторым образом присуще различие, и наоборот, то все же каждый раз лишь одно из них составляет объект рассмотрения, в то время как другое выступает только в качестве предполагаемого основания первого.

Под алгебраической формой здесь следует понимать не только число, но и то, что соответствует числу в области непрерывного, а под комбина&торной формой - не только комбинацию, но и то, что ей соответствует в не&прерывном.

6. Из перекрещивания этих двух противоположностей, первая из которых относится к способу порождения, а вторая - к порожда&емым элементам, возникают четыре вида форм и соответствующих им ветвей учения о формах.

Вряд ли нуждается в доказательстве, что тем самым полностью исчер&пано и точно очерчено понятие числа, равно как и понятие комбинации. А поскольку противоположности, благодаря которым возникли эти опре&деления, являются простейшими, данными непосредственно вместе с поня&тием математической формы, то тем самым вполне оправдан вывод, о ко&тором шла речь выше[114]. Замечу еще только, что эта противоположность двух форм явственно выражается различием обозначений их элементов; ибо то, что связывается с числом, обозначается одним и тем же знаком, а то, что связывается с комбинацией, - различными и, вообще говоря, совер&шенно произвольными знаками (буквами). А что в соответствии с этим лю&бое множество вещей (особенностей)13* может рассматриваться в качестве числа с таким же успехом, как и в качестве комбинации, - об этом едва ли стоит говорить.

7. Подобным же образом непрерывная форма, или величина, подразделяется на алгебраически-непрерывную форму, или ин&тенсивную величину, и на комбинаторно непрерывную форму, или экстенсивную величину. То есть интенсивная величина воз&никает путем порождения одинакового (равного), а экстенсивная величина, или протяженность, путем порождения различного. Первая, в качестве переменной величины, составляет основу уче&ния о функциях, дифференциального и интегрального исчисле&ний, вторая - основу учения о протяженности.

Так как из этих двух ветвей имеют обыкновение первую подчинять уче&нию о числах как более высокой ветви, вторая же выступает в качестве не&известной еще ветви, то это рассуждение, трудное [для восприятия] из-за по&нятия непрерывной текучести, нуждается в более подробном разъяснении.

Как в случае числа на первый план выступает соединение, а в случае комбинации - разъединение (мыслимого соединенным), так и в случае ин&тенсивной величины соединение элементов, которые, в соответствии с их определением, являются раздельными, образует интенсивную величину, по существу, только благодаря их одинаковости, раздельные же элементы, объединяющиеся друг с другом, коль скоро они образуют экстенсивную величину, порождают ее именно благодаря их разъединенности.

И здесь установленное выше различение вполне обнаруживается в обо&значениях, а именно в случае интенсивной величины, составляющей предмет учения о функциях, элементы не отличаются друг от друга особыми знака&ми, а там, где появляются особые знаки, ими обозначается переменная вели- чина как таковая. Наоборот, в случае протяженной величины или ее кон&кретного представления - линии - различные элементы обозначаются раз&ными знаками (буквами), совсем так, как в учении о комбинациях. Ясно так&же, что всякую реальную величину можно воспринимать двояко - и как ин&тенсивную, и как экстенсивную. А именно линию можно рассматривать как интенсивную величину, если отвлечься от того, каким образом один из дру&гого возникают ее элементы, и принимать во внимание только количество этих элементов; аналогично точку, обладающую силой, можно мыслить как экстенсивную величину, представляя себе силу в виде некоторой линии.

Из четырех ветвей математики дискретное исторически развито рань&ше, чем непрерывное (так как дискретное ближе анализирующему рассуд&ку), алгебраическое - раньше, чем комбинаторное (так как одинаковое по&стигается легче, нежели различное).

8. Разъединению учения о формах на четыре ветви следует предпослать общую часть, которая трактует общие законы уста&новления связей, т.е. законы, одинаково применимые ко всем вет&вям, и эту часть мы будем называть общим учением о формах17*.

Эту общую часть - учение о формах - важно предпослать всему цело&му не только потому, что с ее введением устраняются повторения одних и тех же рассуждений во всех четырех ветвях (и даже в различных разделах одной и той же ветви), что значительно сокращает изложение, но и потому, что в этом случае однородное по своей сути оказывается взаимосвязанным и выступает как основа целого.