Наука об экстенсивных величинах, или Учение о линейных протяженностях. Введение  

Деление наук на реальные и формальные восходит, по крайней мере, к Лейбницу. Но во времена Г. Грассмана в философии и математике этот взгляд был отнюдь не общепринят, хотя в преподавании нашел отражение в подразде&лении учебных заведений на классические и реальные.

2* Подобная трактовка «формальных наук», к которым Г. Грассман отно&сил математику и логику, сразу встретила возражения. Так, Э.Ф. Апельт (Apelt), экстраординарный профессор Иенского университета, в письме к Мёбиусу, да&тированном 3 сентября 1845 г., писал, что» по его убеждению, в основе «грассма&новского странного учения о протяженностях» лежит «ложная философия ма&тематики. В ней, как кажется, совершенно проигнорирован существенный хара&ктер математического познания - наглядность. Столь абстрактное учение о протяженностях, которое он пытается развить, может быть разработано, толь&ко если базироваться на [одних] понятиях. Но источник систематического поз&нания заключен не в понятиях, а в наглядном созерцании» (цит. по: Engel F. Hermann Grassmans Gesammelte mathematische und physikalische Werke. Druck und Verlag von B.G. Teubner. Leipzig. 1911. C. 101).

3* Эти слова - предвосхищение позднейшего взгляда интуиционистов и кон&структивистов на математику и (математическую) логику как на науку об умст&венном конструировании. Ср.: Марков АЛ. О логике конструктивной матема&тики. М.: Знание, 1972. С. 4.

4* Таким образом, основополагающие допущения - Grundsatze, т.е. аксио&мы, по Г. Грассману, обязаны носить содержательный характер. Эта точка зре&ния господствовала в философии математики вплоть до работы Д. Гильберта «Основания геометрии» (1899) и вообще развития аксиоматического метода.

5* Из этого, добавленного в 1877 г., примечания Г.

6* Этот взгляд на философские науки, включая диалектику как логику, от&ражает влияние Шлейермахера. Фридрих-Эрнст Шлейермахер (1768-1834), не&мецкий богослов и философ, профессор Берлинского университета, член акаде&мии наук Берлина. Отличался чрезвычайной религиозностью. Религию пони&мал как интимную жизнь духа, защищал полную свободу религиозной жизни от вмешательств государства. Отрицательно относился к культу и обрядам. Schleiermacher. Reden ueber die Religion (1799, 1888), Monologen (1800, 1871), Der christische Glaube (1821-22, 1889).

7* Это так в немецком языке, где различаются vermehren и vermindern, с од&ной стороны, и vergrdssern и verkleinern - с другой. Русский язык этого различия не улавливает.

8* Впоследствии Р. Грассман, развивая идеи старшего брата, использовал термины «форма» и «величина» как синонимы, причем предпочитал последний термин.

9* Поначалу может показаться, что здесь вполне кантовское понимание пространства и времени: ведь, согласно Канту, эти категории - априорные фор&мы чувственного восприятия, о чем фактически говорит и Г. Грассман. Однако то обстоятельство, что автор «учения о протяженностях» исключает из (чистой) математики геометрию - совсем не кантовская мысль.

10* Форометрия (die Phorometrie от греч. Pherei - нести) - то же, что кине&матика.

Здесь и далее рассуждения Г. Грассмана о противоположности и взаимо&проникновении одинакового и различного, дискретного и непрерывного, стано&вящегося и ставшего, актов полагания и связывания, интенсивных и экстенсив&ных величин и т.п.

12* См. коммент. 2* к работе Р. Грассмана «Учение о величинах (...) Вве&дение».

,3* Здесь «вещь» (Ding) - свойство, особенность (Besonderheit). Это сущест&венно, так как «вещь» может пониматься как принадлежащая к реальности,

Грассман же имеет в виду умственные конструкции, поскольку речь у него идет о «чистой математике».

14* Ср. § 13, 14 которыми открывается грассмановское «учение о протяжен&ностях», - их перевод помещен в конце «Очерка общего учения о формах» (с. 72-76 наст. изд).

15* В оригинале Kraft - сила, т.е. вектор. Термин «масса», принятый в перево&де труда Ф. Клейна «Лекции о развитии математики в XIX столетии» (М.: Наука, 1989. Т. 1.С. 198, переводчик Н.М. Нагорный) соответствует скалярной величине.

16* Кратко об историко-математических фактах, которые имеет в виду ав&тор, см.: «История математики: В 3 т. / Под ред. А.П. Юшкевича. М., 1970. Т. 2. Гл. 5 и 8.

17* См. выше «Очерк общего учения о формах» (с. 59, 181,222-223, наст, изд.), а также помещенный ниже перевод «Учения о величинах» Р. Грассмана.

18* В этом параграфе, как и в предшествующем изложении, Г. Грассман в рамках своей генетической концепции осмысления математического и философ&ского знания раскрывает то, что в истории философии носит название принципа индивидуации.

19* Ср. ниже § 13, 14 и коммент. к ним.

20* Математический смысл сказанного в этом и предшествующем парагра&фе сводится к теории я-мерных пространств.

21 * Это понимание научности восходит к Шлейермахеру.

22* При всей ориентации на чисто абстрактный подход к «формальным на&укам» Г. Грассман, таким образом, учитывал и эвристическую сторону дела, что понятно, так как преподавательская деятельность занимала в его жизни значи&тельное место.