§§ 13, 14. Протяженное образование, отрезок и система первой ступени20* 

Чисто научный путь изложения учения о протяженности дол&жен бы состоять в том, что способом, который мы попытались показать во введении, исходя из понятий, лежащих в основе этой науки, детально развертывается все ее содержание.

Чтобы получить протяженную величину, я начну с порож&дения линии. В этом случае имеется порождающая [производя&щая] точка21*, которая занимает различные положения в неко&торой непрерывной последовательности; а совокупность тех точек, в которые переходит порождающая точка при таком из&менении, образует линию. Точки некоторой линии, таким об&разом, выступают по сути как различные и как таковые обо- значаются (различными буквами); но поскольку различному всегда присуще одинаковое [равное] (хотя и в некотором неоп&ределенном смысле), постольку и здесь различные точки так&же выступают как разные положения одной и той же порожда&ющей точки. Равным образом в нашей науке мы придем к про&тяженности, если вместо пространственных отношений при&мем соответствующие абстрактные [понятийные - begriffliche] отношения22*.

Прежде всего, вместо точки, т.е. особого места, мы возьмем элемент, понимаемый просто как такое особенное, которое от&лично от других особенных. При этом элементу в нашей абст&рактной науке мы не приписываем никакого другого содержа&ния; поэтому здесь не может быть речи ни о том, чтб собой представляет это особенное, - ибо оно есть просто особенное, без всякого реального содержания, - ни о том, в каком отноше&нии одно из них отлично от другого.

Переход порождающего элемента из одного состояния в дру&гое мы называем изменением элемента; и, стало быть, это абст&рактное изменение порождающего элемента соответствует изме&нению места точки в геометрии. Так же, как в геометрии путем поступательного движения некоторой точки сначала возникает линия, пространственные же образования23* более высоких ступе&ней могут возникать лишь после того, как полученное образова&ние [das Gebilde] снова приводится в движение, так и в нашей на&уке протяженное образование первой ступени возникает путем непрерывного изменения порождающего элемента. Объединяя результаты предшествующих рассуждений, мы можем сформули&ровать следующую дефиницию:

Под протяженным образованием первой ступени мы пони&маем совокупность элементов, в которые переходит порожда&ющий элемент при непрерывном изменении; в частности, порождающий элемент в его исходном состоянии мы называем начальным элементом, а в его завершающем состоя&нии - конечным [последним] элементом.

Из этого понятия немедленно следует, что с каждым протя&женным образованием связано некоторое ему противополож&ное, взятое в обратном порядке возникновения. Или, более оп&ределенно: если путем некоторого изменения из а получается Ьу то противоположное изменение состоит в том, что из Ь получа&ется д. Протяженное же образование, противоположное некото&рому другому протяженному образованию, - это такое образо&вание, которое получается путем противоположного изменения, т.е. изменения, совершающегося в обратном порядке. Отсюда немедленно следует, что свойство противоположности взаимно- обратно.