Предисловия к сочинениям об учении о формах и протяженностях  

Текст этого предисловия (Vorrede) к первому изданию «Учения о протя&женностях (1844) занимает в нем с. Ill—XIV, помещен в издании трудов Г.

Основное назначение этого Vorrede - обоснование развиваемого Г. Грассманом подхода к математике как науке, а также ее отношения к «род&ственным предметам», особенно физике. Существенно, что автор выходит за рамки того, что ниже он представляет вниманию читателя, очерчивая вопро- сы, которые должны были войти в задуманную им вторую, так и не написан&ную, часть его труда.

2* Лагранж Жозеф Луи (La Grange - J.L. Lagrange) (1736-1813) - француз&ский математик, механик, астроном, член Парижской Академии наук, почетный член Петербургской Академии наук. Его «Аналитическая механика» (Mecanique analytique) издана в 1788 в одном томе; позднее переиздана в двух томах (1811-1815). Имеется перевод на русский язык: Лагранж Ж. Аналитическая ме&ханика. Т. 1, 2. М.; Д.: ГТТИ, 1950.

3* Относительно исследования Грассманом проблемы приливов и отливов см. Engel F. Grassmanns Leben // Hermann Grassmanns Gesammelte mathematische und physikalische Werke, dritten Bandes, zweiter Thl. X Kapital.

4* Лаплас Пьер Симон (La Place, Laplace P.S.) (1749-1827) - французский ма&тематик, физик, астроном, член Парижской Академии наук, председатель Пала&ты мер и весов. Пятитомная «Небесная механика» (Traite de mecanique celeste) Лапласа публиковалась с 1799 по 1825 г.

5* Отказ от использования системы координат - отличительная черта «новой науки» Г. Грассмана, позволившая ему развить теорию многомерных пространств.

6* Грассман имеет в виду сочинение Мёбиуса «Барицентрическое исчисле&ние» (Das barycentrische Calcul.

7* Мотивы, по которым Г. Грассман исключает геометрию из математики как чисто абстрактной науки, более подробно изложены им во «Введении» к со&чинению 1844 г. (см. с. 79 наст. изд.).

8* В данном Предисловии дается экспозиция того, что Г. Грассман собирал&ся изложить во второй части своего труда. Хотя эта часть так и не была разра&ботана, идеи, излагаемые им ниже, вошли в «евклидов» вариант «Учения о про&тяженностях», опубликованный в 1861/62 гг.

9* «Внешнее произведение» Г. Грассмана - это в современной математике векторное произведение. Независимо от автора «Учения о протяженностях» оно было открыто У.Р. Гамильтоном. Попытки построения трехмерного анало&га комплексных чисел привели Гамильтона к созданию теории кватернионов, которую он изложил сначала в работе «О кватернионах, или О новой системе мнимостей в алгебре» (On quaternions, or On a new system of imaginaries in algebra. Dublin, 1844-1850), а затем в «Лекциях о кватернионах» (Lectures on quaternions. Dublin, 1853). См., напр.: Кузичева З.А. Векторы, алгебры, пространства. М.: Изд-во «Знание», 1970. Подробно история векторного исчисления изложена в кн.: Александрова Н.В. Из истории векторного исчисления. М.: Изд-во МАИ, 1992.

,0* Здесь Г. Грассман наметил представление теории комплексных чисел, перекликающееся с изложением Л. Эйлера (1707-1783) в его трактате «Введе&ние в анализ бесконечного». 1748.

11 * Как отмечает Ф. Энгель, можно лишь удивляться, что Г. Грассман соз&дал свой труд в условиях очень большой педагогической загруженности. См.: Engel F. Grassmanns Leben... цитированное в Кар. XII S. 92.

12* Ср. сказанное о Гегеле и его школе во «Введении» к труду 1844 г. (с. 225, 243, 247, 338 наст. изд.).

Эта установка - указать место учения о протяженностях в «системе зна&ния» - впоследствии, уже в сочинениях его брата Роберта, вылилась в многотом&ный труд, далеко отошедший от первоначальных скромных замыслов Г.

Предисловие к изданию 1877-1878 годов

,4* «Строго научный, основанный на исходных понятиях» способ изложения математики, на преимуществах которого до конца дней настаивал Г. Грассман (ибо только этот способ, по его убеждению, позволяет разобраться в этом «цело&стном сооружении», которое представляет собой математика), - это и есть та ге&нетическая установка, которая изложена им во Введении к труду 1844 г. и кото&рая в простейших разделах математики и логики оборачивается Грассмановым индуктивно-рекурсивным подходом. Мысль об оправданности своего «способа изложения» Г. Грассман считал настолько важной, что вернулся к ней в конце данного Предисловия и подчеркнул, что считает его «полностью определен&ным», хотя он больше отвечает философски образованному читателю, чем чи&тателю-математику.

15* Г. Грассман дважды безуспешно пытался добиться места преподавателя (профессора) в университете. См.: Engel F. Grassmanns Leben... Кар. IX.

16* Клебш A. (iClebsch А.у 1833-1872) - известный немецкий математик, в 60-е годы XIX в. работал профессором Политехнической школы в Карлсруэ.

17* Шлегель В. (Schlegel S.V., 1843-1913) - немецкий математик, изучал в Берлине математику и естественные науки. В математике был последователем и пропагандистом идей Грассмана; ему принадлежат следующие сочинения: «Untersuchungen iiber eine Flache 3 Ordnung nach Grassmann 4 Ausdehnungslehre» (1871); «System der Raumlehre. Nach den Principien der Grassmann*schen Ausdehnungslehre und als Einleitung in dieselbe darstellt. I Theil. Geometrie. Die Gebite des Punktes, der Geraden und der Ebene» (Leipzig, 1892); II Theil. Die Elemente der modemen Geometrie und Algebra (Leipzig, 1875); «Hermann Grassmann *s Leben und Werke» (Leipzig, 1878) и др. He без влияния Грассмана Шлегель занимался и мно&гомерными геометриями, сочинения этого цикла он публиковал в 80-е годы XIX века.

18* Г. Грассман перечисляет следующие свои работы: «Zur Theorie der Curven 3. Ordnung», «Ober zusammengehorige Pole und ihre Darstellung durch Producte», обе статьи опубликованы в Gottingen Nachrichten, 1872; S. 505, 567 соответственно; «Die neuere Algebra und die Ausdehnungslehre», in: Math. Annalen, Bd. VII, 1874; S. 538-548; «Die Mechanik und die Principien der Ausdehnungslehre», in: Math. Annalen, Bd. XII, S. 222-240, 1877; «Der Ort der Hamilton'schen Quatemionen in der Ausdehnungslehre», in Math. Annalen, Bd. XII, S. 375-386, 1877.

19* «Verwendung der Ausdehnungslehre fiir die Polarentheorie und den Zusammenhang algebraische Gebilde», in: Crelle-Borchardt Journal, Bd. 84. S. 273-283, 1878.