Учение о понятиях, или Логика  

Logik. 1900, XIII, 188 S.; Formelbuch der logischen Wissenschaften, 18 S. Это издание полностью повторяет книгу 1890 г., исключая ее титульный лист и «Предисло&вие к логическим наукам», которое имеется в труде 1890 г., но отсутствует в его переиздании. Наиболее существенные логические теоремы и их пояснения, име&ющиеся в труде 1890/1900 г., в нашем переводе мы помещаем в подстрочных примечаниях.

Рассматривая грассмановскую «Логику» 1872 г., следует учитывать, что в ней предполагается данным все содержание «Учения о величинах».

1* Текст «Введения» в книге Р. Грассмана 1872 г. набран петитом в отличие от основного изложения. Но и в основном изложении он чередует корпус и пе&тит (последний используется, например, когда приводятся примеры, иллюстри&рующие формульное изложение). В настоящем издании эти шрифтовые особен&ности не воспроизводятся.

2* Р. Грассман здесь и далее приводит греческое имя «отца логики» в латин&ской транскрипции. В дальнейшем мы будем использовать принятое русское на&писание - Аристотель. Это же касается и других логиков прошлого, имена ко&торых приводятся автором в латинской транскрипции: их мы тоже будем пере&давать так, как это принято в нашей литературе.

3* Перечисленные логические сочинения Аристотеля входят в собрание его трудов - «Органон», составленное последователями Стагирита. В русской тра&диции перечисленные Р. Грассманом аристотелевские труды носят названия: «Категории», «Об истолковании», «О софистических опровержениях», «Топи&ка», «Аналитики» (первая и вторая).

4* Аристотель говорит об этом так: «Что касается учения об умозаключе&ниях, то мы не нашли ничего такого, что было бы создано до нас, а должны бы&ли сами создать его с большой затратой времени и сил» («О софистических оп&ровержениях». Т. 2. 184Ы-3).

5* Это не совсем верно. Использование Аристотелем букв в качестве обо&значений силлогистических терминов, а также стандартизация греческих фраз, фигурирующих в схемах описываемых им силлогизмов, позволяет считать его теорию умозаключений, так сказать, протоформульной. В этой теории, носив&шей аксиоматический характер, представлен детальный аппарат обоснования силлогических выводов, во всяком случае - немодальных.

6* Роберт Грассман повторяет здесь распространенный в его время взгляд на развитие логики после Аристотеля - вплоть до раннего Нового времени - как на некий провал. На самом деле в последующие века логические исследования, хотя и с перерывами, были продолжены. Достаточно назвать стоиков, создав&ших основы логики высказываний, и западноевропейских схоластических мыс&лителей (а также арабских ученых), которые не только детализировали силло&гистику, но и заложили основы, например, учения о неразрешимых предложени&ях и логико-семантической теории. Новейшие историко-логические исследова&ния обнаруживают интересные идеи даже в такой не очень «логической» - в ту пору, в всяком случае, - стране, как Франция, где Э.Б. де Кондильяк по сути де&ла предвосхитил позднейший алгебраический подход, а Кондорсе предпринял попытки математизации операций логики. Вообще экскурс Р. Грассмана в исто&рию логики в данном труде носит отрывочный и субъективный характер. В по&следующем Р. Грассман познакомился с историей логики более основательно, о чем свидетельствует материал «Очерк истории логики», которым открывается его «Логика» 1890 (1900) гг. (см. с. 337-346 наст. изд.).

7* Здесь Р. Грассман смотрит на вопрос, так сказать, с немецкой коло&кольни, да и то не очень внимательно.

Что же касается Христиана Вольфа (1679-1754), то последний был автором двух логических трудов - упоминаемого Р. Грассманом сочинения 1728 г., напи&санного на латинском языке (Wolfius Christianus. Philosophia rationalis sive logica. Francofurti et Lipsiae; вышло вторым и третьим изданиями в 1732 и 1740 гг.) и бо&лее раннего немецкоязычного труда: Wolf Christian. Verniinftige Gedanken von den Kraften des menschlichen Verstandes. Halle, 1713, выдержавшего множество изда&ний вплоть до 1770 г., а также переведенного на французский, итальянский и ан&глийский языки. В 1753 и 1765 гг. в России были опубликованы русские перево&ды упомянутого латинского текста Вольфа под названием «Логика, или Разум&ные мысли о силах человеческого разума и их исправном употреблении в позна&нии правды» (СПб., 1765). Оценка значения Вольфа для логики, данная Р. Грасс&маном, не вполне справедлива, а ссылка на критику Вольфа со стороны Гегеля выглядит странно, так как уже на следующей странице автор признает, что Ге&гель нанес логике «безмерный вред».

8* Гегель полагал, что так называемый геометрический метод слишком формалистичен: «У Спинозы, который больше других применял геометриче&ский метод, и применял его именно для вывода спекулятивных понятий, форма&лизм этого метода сразу бросается в глаза.

9* Kant I. Logik. Ein Handbuch zu Vorlesungen. Книга составлена учеником Канта - Г.Б. Йеше по просьбе великого философа. В русск. перев.: Логика. По&собие к лекциям // Кант И. Трактаты и письма. М.: Наука, 1980.

10* Р. Грассман приводит практически дословное определение понятия суж&дения по Канту. См., напр.: Kant I. Immanuel Kants. Leipzig, 1920. Th. I. Allgemeine Elementarlehre. 2. Abschnitt. Von den Urteilen.

§ 17. Erklarung eines Urteils iiberhaupt. Ein Urtei; ist die Vorstellung der BewuBtseins verschiedener Vorstellungen, oder Vorstellung des Verhaltnisses derselben, sofern sie einen Begriff ausmachen.

ll* P. Грассман имеет в виду первый том гегелевской «Науки логики» (Hegel G.W.F. Wissenschaft der Logik. Bd. I—III, Numberg, 1812-1816). В русск. пе&рев.: Гегель Г.В.Ф. Наука логики. М., 1970-1972. Т. 1-3.

12* Имеется в виду труд Иоганна Генриха Ламберта (Lambert) «Neues Organon, oder Gedanken liber die Erforschung und Bezeichnung des Wahren und dessen Unterscheidung von Irrtum und Schein». Bd. 1-2. Leipzig, 1764.

Научные интересы Ламберта распространялись не только на логику, он развил более общее учение о науке - философской и математической (в соч.

«Anlage zur Architectonic oder Theorie des Einfachen und Ersten in der philosophischen und mathematischen Erkenntnis», Bd. 1-2. Riga, 1771) и в этом отношении как бы предвосхищал ход мысли Р. Грассмана. См.: Кузичева З.А. «Символическая ло&гика в сочинениях И.Г. Ламберта» // Историко-математические исследования. Вып. 25, 1980. С. 225-247.

13* Август Твестен (August D.Chr. Twesten, 1789-1876) был автором не толь&ко упоминаемого Р. Грассманом сочинения (Logik, msbesondere die Analytik. Schleswig, 1828), но и вышедшего в 1834 г. в Киле труда Grundriss der analytischen Logik.

14* Примеры Beiname - Friedrich I mit dem Beinamen «Barbarossa»; Beisatz: Friedrich «der GroBe» (примеры заимствованы из словаря: Wahrig G.

Свойства операций сложения и умножения в логике Р. Грассман фактиче&ски постулирует, хотя и не оговаривает этого. Примеры, которые, по его мне&нию, должны доказать эти свойства, скорее, опровергают их. Например, он ут&верждает, что понятия «старый, храбрый король» и «старый король и храбрый король» означают одно и то же. Но это очевидным образом неверно. Второе не тождественно первому, ибо оно может относиться к двум разным королям, тог&да как первое аттестует одного короля. Заметим, что в алгебре логики (алгебре объемов понятий) справедливы две дистрибутивности:

а(Ь + с) = ab + ас на + be = (а + Ь) (а + с),

где умножение и сложение означают соответственно пересечение и объедине&ние объемов рассматриваемых понятий (т.е. множеств). Оба равенства доказы&ваются, исходя из определения указанных операций и отношения равенства объ&емов (множеств).

15* В этом равенстве предполагается, что еу отлично от е2. И в дальнейших своих выкладках, выписывая одинаковые буквы, обозначающие элементы или понятия, которые проиндексированы по-разному, Р. Грассман предполагает, что последние различны. При этом, если elt е2 - понятия, то et • е2 = 0 означает, что Є\ и е2 не имеют общих штифтов.

16* Здесь Р. Грассман впервые использует важные для его теории поня&тия содержания, признака и отличия, к комментированию которых мы еще вернемся.

17* Немецкое Stiick (буквально - штука) мы будем, следуя В.В. Бобынину (см. его «Опыты математического изложения логики», вып. I. М., 1886. Раздел «Сочинение Роберта Грассмана»), переводить словом «часть». Вскоре из кон&текста станет ясно, что «часть» понимается им как слагаемое объема понятия, которое трактуется как некая сумма.

18* Подобное широкое понимание элементарных величин («штифтов») Вселенной вытекает из общего замысла Р. Грассмана - соорудить всеохват&ное «здание» (систему) знания, однако понимание это находится в явном про&тиворечии с требованием, чтобы величины имели «одно, а не много» значе&ний.

19* В «Логике» 1890 г., чувствуя, видимо, неувязку между понятием связи, связывания как операции и понятием о связи величин как результате операции, Р. Грассман пытается ее преодолеть, вводя:

«Определение 25. Под величиной а о (о Ь) мы понимаем величину а о Ь. Ве&личина (о Ь) которая читается «вместе с b», означает некую связь

Предложение 26. а о (о Ь) = а о Ь.

20* Фигурирующий у Р. Грассмана термин fortschreitend (и его грамматиче&ские варианты) мы переводим выражениями «последовательно», «последова&тельный» и пр.; сходный термин fortleitend будет передаваться как «поступатель&но» («поступательное» и пр.) В данной работе Р. Грассмана в § 6 фигурирует «поступательное, или индуктивное» доказательство. Для обозначения «последо&вательной связи величин» в том смысле, который имеет в виду Р. Грассман, те&перь обычно используется оборот «по ассоциативности влево». Пусть, напри&мер, складываются обычные числа: а + b + с + ...+ z. Для того чтобы указать последовательность осуществления сложения (т.е. восстановить скобки), за&ключаем в скобки первое и второе слагаемое. Затем, рассматривая скобку как слагаемое, заключаем в скобки ее и третье слагаемое, и так далее. После вос&становления всех скобок получим

(...(а + Ь) +с) + ...+ z.

21 * Напоминаем, что грассмановское определение отношения неравенства ошибочно. См. коммент. 1* к части I «Учения о формах».

22* Таким образом, здесь понятие («штифтовая величина») определяется как (конечная!) сумма штифтов (элементов), т.е. так, как выше, во Введении, определялся объем понятия. Тут присутствует четкая экстенсиональная уста&новка. В случае же, когда понятия, в том числе, элементарные величины (<оптифты»), служат для определения каких-то других понятий, выступая в каче&стве «сомножителей», они характеризуются как признаки (определяемого) по&нятия; «произведение» признаков составляет тогда содержание понятия. Здесь, безусловно, имеется принципиальное затруднение. Разные штифты, естествен&но, должны означать разные признаки. В таком случае принятое Р. Грассманом допущение, что произведение отличных друг от друга штифтов равно нулю, об&ращает в нуль любое понятие, обладающее более чем одним признаком. Впро&чем, попытки (неудачные!) алгебраизировать исчисление понятий, оперируя с признаками понятий, а не с их объемами, предпринимались и ранее, например, Г. Ламбертом. (См.: Кузичева З.А. Символическая логика в сочинениях И.Г. Ламберта.)

23* При этом, как указал Р. Грассман во Введении, это предложение долж&но быть согласовано с определяемым в роде, числе и падеже.

24* Плюсовая скобка, согласно разъяснениям, данным в «Учении о величи&нах», - это скобка, предваряемая знаком сложения; факторная скобка содер&жит произведение, которое может умножаться на какую-либо величину, либо складываться с ней (ср. следующее ниже подстрочное примечание). В пункте 1 имеется в виду право свободного расположения скобок в (многочленных) сум&мах и произведениях, но, конечно, не в выражениях, где встречаются знаки и сложения, и умножения.

25* Пример, поясняющий мысль Р. Грассмана. В произведении (<а + b)(c + d) обе скобки «выражают отношение»; каждая из них есть признак понятия, пред&ставляемого этим произведением. Величины а и Ь, с и d- это слагаемые указан&ных признаков. Очевидно, что выписанное выше произведение после раскрытия скобок по дистрибутивности умножения (приписывания признака, или «отделе&ния», понятию) относительно сложения приводит к понятию ab + ас + be + bd, которое равно исходному. В простейшем случае, например в понятии а(Ь + с), фигурирует только одна скобка, «выражающая отношение», т.е. «факторная скобка».

26* Прилагательные «понятийная», «понятийное» не несут какого-либо осо&бого смысла, а просто лишний раз подчеркивают, что рассматриваемые равен&ства принадлежат логике.

21* Иоганн Фридрих Гербарт (Herbart, 1776-1841) - немецкий философ, пси&холог и педагог. Р. Грассман цитирует его труд «Lehrbuch zur Einleitung in die Philosophie» [4. Ausgabe], Konigsberg, 1837.

28* Формулировка данной теоремы и особенно ее доказательство ясно пока&зывает, что логическая теория Р. Грассмана предполагает конечность объемов понятий. В пункте 1 доказательства а - базисе индукции - вместо па следова&ло бы записать 5j ^а.

29* В современной биологической классификации живые существа подраз&деляются на типы, типы - на классы, классы же состоят из отрядов. Отряды де&лятся на подотряды, в которых, в свою очередь, выделяются семейства. Напри&мер, отряд «Китообразные» включается в класс «Млекопитающие», который относится к типу «Позвоночные». Отряд «Китообразные» состоит из подотря&дов «Усатые киты» и «Зубатые киты». Подотряды подразделяются на семейст&ва. (См., напр., Жизнь животных. Т. 6 / Под ред. С.П. Наумова и А.П. Кузякина. М., 1971. С. 251-300).

Черепахи и жабы, как и киты, относятся к типу «Позвоночные». Жабы от&носятся к классу «Земноводные», отряду - «Бесхвостые земноводные», семейст&ву - «Жабы». Черепах относят к классу «Пресмыкающееся, или рептилии», от&ряд - «Черепахи». Жуки относятся к типу «Беспозвоночные», классу - «Члени&стоногие», отряду - «Жесткокрылые». (См., напр.: Жизнь животных. Т. 3 / Под ред. J1.A. Зенкевича. М., 1969. С. 306-372. Т. 4 / Под ред. А.Г. Банникова. М., 1969. С. 7-198).

30* Этот том имеет название: Grassmann R. Die Einleitung in das Gebeude des Wissens oder die wissenschaftliche Propadeutik. Stettin: Druck und Verlag von R.Grassmann, 1882.

31 * Описанный P. Грассманом способ введения вычитания в алгебру логи&ки - а именно о ней идет речь - действительно недопустим. Но автор ошибает&ся, полагая, что все «алгебраические логики» вводили отрицательные величины и вычитание. Например, ничего подобного не было у Джевонса. Что же касает&ся способов, каким отрицание может вводиться в логику, то они могут быть со&всем не такими, какими их представил автор «теории форм». Например,

И.И. Жегалкин строит исчисление, в котором операции сложения и умножения определены следующим образом:

р + р = 0У рр = р,

0 + 0 = 0, 0+1 = 1+ 0=1, 1 + 1=0,

0-0 = 0,0- 1 = 1 0 = 0, 1 • 1 = 1,

Если определить разность междуpnq как r = p-q, так что г + q = р> то, приба&вляя к обеим частям последнего равенства qy получим: r + q + q = p + q, но, q + <7 = 0, откуда p + q = r= p-q, т.е. вычитание совпадает со сложением, (см.: Же&галкин И.И. О технике вычисления предложений в символической логике; Арифметизация символической логики // Математический сборник. 1927. Т. 34. Вып. 1; 1928. Т. 35. Вып. 3-4).

32* Это - обратная теорема по отношению к предыдущей, которую автор ниже доказывает. Доказательство обратной теоремы можно извлечь из доказа&тельства прямой следующим образом. Если бы а и Ь, помимо общего для них слагаемого с, имели бы еще одно общее слагаемое, например dt то после пере&множения я и в полученном многочлене слагаемые, содержащие сомножитель d, обратились бы в нули (согласно № 7), и мы получили бы снова ab = с.

33* Мы восполняем применяемые автором сокращения латинских и грече&ских терминов (например, пишем «n[omina]», хотя в оригинале стоит «п.») толь&ко когда данное сокращение встречается первый раз.

34* Термин «встречающиеся понятия» заимствован переводчиком из бро&шюры: Бобынин В.В. Опыты математического изложения логики. Вып. I. М., 1886, раздел «Сочинение Роберта Грассмана», с. 36, однако он употребляется здесь не как равнозначный «пересекающимся понятиям» (как у Бобынина), а как синоним инцидентных понятий, т.е. понятий а и b таких, что-либо а < />, ли&бо b< а - они действительно «встречаются», так как объем одного оказывается частью другого.

35* Пересекающиеся понятия, по Р. Грассману, имеют общую часть, а так&же части, присущие только каждому из них. Это совпадает с современным понятием симметрической разности и роднит это определение с булевской дизъюнкцией. Однако уже следующая фраза - о соединенных понятиях - говорит об обычной операции объединения объемов понятий. Ср. также приводимые ниже графические пояснения этих понятий, которые даются автором в «Логи&ке» 1890 г. В приводимой там схеме «перекрещивающиеся понятия» совпадают с тем, о чем в данном тексте говорится как о пересекающихся понятиях. В «Ло&гике» 1890 г. автор избегает понятия «класс» и пользуется термином «область».

36* Логическая теория, развиваемая Р. Грассманом в разделе «Образование понятий», представляет собой теорию классов как объемов понятий при опера&циях объединения и пересечения классов (обозначаемых им знаками сложения и умножения), дополнения класса до универсального класса и использовании пу&стого класса. Но, развертывая свою теорию, он вынужден использовать и сред&ства логики высказываний. Знак равенства, объединяющий две формулы, стоя&щие в квадратных скобках, уже не означает равенства величин (понятий), - это знак эквиваленции или, при другой трактовке, логической равносильности двух высказываний (схем высказываний) и может читаться «тогда и только тогда»; из этих высказываний одно представляет собой равенство, а другое - (нестро&гое) неравенство: формулу [а < Ь] следует читать «а < b v а = b»> где v есть знак дизъюнкции пропозициональной логики. Следование одной формулы из другой

Р. Грассман выражает, используя условное суждение естественного языка («Ес&ли..., то»), - это мы вскоре встречаем: уже в № 16. Конъюнкцию логики выска&зываний он выражает знаком +, и отличие смысла последнего в этом случае от смысла операции объединения классов усматривается из того, что связывает он не понятия, а равенства или неравенства (ср. ниже теоремы №№ 19,20 и др.). От&рицания высказываний выражаются средствами естественного языка. Таким об&разом, логическая теория Р. Грассмана представляет собой так называемое ком&бинированное исчисление - классов и высказываний.

Для того чтобы различить два разных смысла знаков = и +, мы будем над ними помещать точки, когда они выражают операцию над высказываниями (+), либо отношение между ними (= или <). Высказывания (точнее, схемы высказы&ваний) в этом случае везде будут заключаться в квадратные скобки (что Р. Грассман не всегда делает). Впрочем, в XIX столетии, да часто и в XX, в обо&значениях не учитывалось наличие нескольких смыслов (уровней) символов операций и отношений. Например, Де Морган, как правило, использовал знак «=» не только для обозначения равенства или эквивалентности, но и как знак импликации, не делая никаких оговорок. (См.: Кузинева ЗА. Становление и раз&витие математической логики // Очерки по истории математики / Под ред. Б.В. Гнедеднко. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1997. С. 339-422).

Не удивительно, что В.В. Бобынин, изложивший логику Р. Грассмана в своей брошюре, также не отметил, а, скорее всего, и не заметил, особенно&стей логического построения автора. Он спокойно выписывал грассманов- ские формулы, в которых знак + имеет различный смысл (см. с. 48, где мы встречаем: (а < с) + (и < с) = (а + с) < и), не давая по этому поводу никаких разъ&яснений.

37* Здесь Р. Грассман завершает построение того, что ныне носит название полной дистрибутивной решетки. Номера 2.1 и 2.2 напоминают читателю об установленных в «Учении о величинах» свойствах ассоциативности и комму&тативности операций сложения и умножения, а также об их дистрибутивно&сти друг относительно друга. В М® 5 введено свойство идемпотентности этих операций (как выделяющее логику из теории величин). Номер 10 задал закон поглощения для операции сложения, из которого легко получается аналогич&ный закон для умножения (в «Логике» 1890 г. представленный теоремой № 80). Все это и составляет определение решетки упомянутого вида. Решетка у Р. Грассмана с самого начала не только дистрибутивна, но и полна - в том смыс&ле, что еще в № 2.3 он напомнил о существовании во множестве величин наи&меньшей и наибольшей - нуле и единице, в логике оказывающихся, соответст&венно, наинизшим и наивысшим понятиями (№ 25, 26 и далее). Вполне естест&венно, что, введя эту алгебраическую систему, Р. Грассман выразил затем ее свойства также и в терминах отношения «меньше или равно», установив хорошо известные теперь «решеточные» соотношения:

і а-Ъ Т (№ 15) - (№ 19) а + Ь = Ь (№ №16, 81 «Логики» 1890 г.). a + b = b              ab = a              ab = а.

38* Теорема 20 имеет вид:

1 a + b = b,ab = b ^

Т^Ь

(мы не выписываем грассмановский знак конъюнкции +, соединяющий в его за&писи две посылки, или, как он выражается, допущения). Р. Грассман доказывает правомерность логического перехода лишь «сверху вниз», оставляя без обосно&вания тот факт, что из равенства а = Ь следует формула (а + b = b) & (ab = b). Это доказательство имеет вид:

а + b = b + b (согласно допущению,              ab = bb (согласно допущению)

что а и b равны)

= b              (согласно 5)              -Ь (согласно 5)

Таким образом, доказано, что, если а = Ь, то верны обе формулы а + b = b, ab = b.

39* p грассман доказывает только прямую теорему, но не доказывает об&ратную, т.е. то, что из равенства понятий а и b следует конъюнкция нера&венств а < b и b < а. Доказательство ее выглядит так. Из того, что а = Ь, сле&дует, согласно 20, формула а + b = Ь, а из нее неравенство а < b (согласно 15); поскольку а < b есть дизъюнкция a<bv а = Ь, в которой второй член (как ис&тинный) может быть отброшен, мы получаем а < Ь. Далее, из того, что а = Ь, согласно 20, получается формула ab = b, а из нее, согласно 19, следует форму&ла b < я, т.е. b<av а = Ь\ отбросив истинный дизъюнктивный член b = а, по&лучаем окончательно b < а. Конъюнкция а < b & b < а и составляет искомое заключение.

4°* Здесь перекрещивающиеся понятия отождествляются с пересекающими&ся понятиями (см. приводимые ниже примеры). Во втором разделе данного тру&да (№ 59) перекрещивающиеся понятия получают дополнительную смысловую нагрузку и рассматриваются как чистый случай пересекающихся.

4I* Проблема деления в логике возникла вместе с алгеброй логики, точ&нее вместе с трудами Буля. Р. Грассман ошибается, утверждая, что все пред&ставители алгебры логики вводили в логику деление и дроби. Этого не было, например, у А.Де Моргана и Ст. Джевонса. Однако проблема операции, в ка&ком-то смысле аналогичной делению, возникает в теории решеток, развити&ем которой является булева алгебра, содержавшаяся в логическом построе&нии Р. Грассмана (см. об этом в Послесловии). Впрочем, и сам он вынужден оперировать дробями, когда в «Логике» 1890 г. излагает метод решения урав&нений «по Булю». Перевод соответствующего раздела труда 1890 г. (см. с. 00 наст. изд.).

42* Представляется, что Р. Грассман не понял или сознательно утрировал точку зрения Гегеля, который неоднократно и вполне четко высказывался о со&отношении конечного и бесконечного. Например, Гегель пишет: «...конечность также ближайшим образом выступает в определении реальности. Но истину ко&нечного составляет, наоборот, его идеальность. И точно так же бесконечное рассудка, которое ставится им рядом с конечным, само есть одно из двух конеч&ных, есть неистинное, идеальное». (Энциклопедия философских наук. М.: Мысль, 1975. Т. 1. С. 236).

43* Не ясно, какой свой труд имеет в виду Р. Грассман. Ни в одной из пяти книг 1872 г., составляющих серию «Учения о формах», число параграфов не до&стигает названных здесь цифр. Возможно, он имел в виду свое «Учение о сущ&ностях», выпущенное в 1875 г.

м* Равенства Т = 0 и 0 = Т представляются настолько очевидными, что ка&жется, их доказательство лежит на ладони. Однако это не так, поскольку еще не установлены многие свойства операции отрицания (например, не обоснован за&кон снятия двойного отрицания); к тому же, проводя соответствующие рассуж- дения, мы имеем право опираться только на ранее доказанные логические за&коны. Поэтому приведем эти доказательства: