Часть вторая Логическое и методологическое учение Учение о формах  

21 * Бинарная операция, которую Р. Грассман называет (простым) отноше&нием, - это операция, дистрибутивная относительно операции ° - операции бо&лее низкого «уровня», обладающей свойством ассоциативности. В его записи отношение выражается тем, что «относящиеся» друг к другу величины записы&ваются одна после другой (или разделяются точкой). В дальнейшем отношение оказывается умножением («переплетением») в грассмановском смыслt. Двойное отношение - это операция, подчиняющаяся более общему дистрибутивному за&кону. при котором раскрытие скобок предполагает введение новой операции, которая тоже ассоциативна и имеет более низкий «уровень», чем отношение. Необходимость в «двойном отношении» выясняется, когда Р. Грассман рассмат&ривает «наивысший уровень связи величин» - возвышение, или возведение в сте&пень. См. ниже раздел 6 «Отношение величин» части первой и раздел 9 «Возвы&шение величин» части второй данного сочинения. В № 31, в частности, объясня&ется, почему автор для простого и двойного отношения не вводит разные знаки.

22* Этот и следующий за ним абзацы очень важны: в них разъясняется, по&чему логику нельзя считать предшествующей математике, которая, как и логи&ка, начинается с учения о величинах.

23* Это - применение хорошо известного правила замены равным, вытека&ющего из Лейбницева определения отношения равенства - определения, прини&мавшегося Р. Грассманом и составлявшего основу тождественных преобразова&ний, о которых здесь идет речь. Стоит заметить, что в отличие от почти обще&принятой в современной методологии точки зрения, согласно которой законы равенства относятся к логике (ср. «исчисление предикатов с равенством»), Р. Грассман исключает их из логики. Что касается вводимого затем «предложе&ния о поступательном доказательстве», т.е. принципа совершенной («полной ма&тематической») индукции, который он также считает нелогическим, то по воп&росу об отнесении его к логике.либо математике до сих пор существуют различ&ные взгляды. От ответа на этот вопрос во многом зависит решение проблемы о «первичности» той или другой науки. Хотя индуктивный переход (т.е., грубо го&воря, умозаключение от п-й к (п + 1)-й величине) и требует, вообще говоря, ло&гических рассуждений, Р. Грассман и тут обходится тождественными преобразо&ваниями, что спасает его подход от упрека в том, что его Grosenlehre содержит логические компоненты.

24* Далее следует обоснование индуктивно-рекурсивного подхода в логике и философии математики, т.е. то, что можно считать главным логико-философ&ским достижением Роберта (и Германа) Грассмана. Этот подход, являющийся «общим местом» современной дедуктивной логики и логических оснований ма&тематики, остался непонятым в науке XIX в. Три вопроса, которые ниже задает Р. Грассман, не получили ответа со стороны его современников; даже Э. Шрё&дер, которому были отлично известны грассмановские работы 1872 года, не об&ратил на это внимания. Возможно, виной тому - чрезмерно заносчивый тон Р. Грассмана и его уверенность в том, что он один (ну разве что с братом) моно&польно владеет «научностью».

25* Здесь выражение «прибавление» (Zufiigen) еще не применяется как тер&мин грассмановской теории. Далее, в таблице «Виды связи в учении о величи&нах», для «прибавления» (сложения) используется термин Fiigen, см. также при&мечание к этой таблице.

26* В принятой классификации операций, возможно, это и так, но не в об&щем случае. Упомянутое в примечании 21* скалярное произведение двух векто&ров, как известно, коммутативно, однако оно является не вектором, а числом, следовательно, свойство ассоциативности не присуще скалярному произведе&нию. Вряд ли можно согласиться с автором в том, что векторное произведение не «дает ничего нового».

27* Математики не пошли по пути присваивания своего наименования каж&дому виду умножения, сохранив единственный термин «умножение». В контек&сте, естественно, употребляются определительные термины, говорят о вектор&ном, скалярном, матричном умножении и т.п., результат соответствующей опе&рации обычно называется «произведением».

28* В современной немецкой математической литературе принята термино&логия: Addition - сложение. Multiplikation - умножение, Produkt - произведение, Faktor - сомножитель.

29* Пожалуй, излишне говорить, что грассмановская попытка реформиро&вать математическую (и, как мы увидим в дальнейшем, и логическую) термино&логию не удалась. Математики, логики, философы прошли мимо терминологи&ческих новаций штеттинского автора. То же касается и педагогов, которые вряд ли могли принять грассмановские дистинкции типа Fugen - Anfugen - Einfugen - Zufugen в немецкой «народной школе» (Volksschule) - дистинкции, психологиче&ски неубедительные, так как они являются вариациями выражений, имеющих один и тот же корень, и потому трудно запоминаемые и расходящиеся со сло&жившейся научной терминологией. Даже гораздо менее претенциозные терми&нологические изобретения Германа Грассмана были отторгнуты современными ему математиками.

30» Эту таблицу читателю полезно иметь перед глазами, так как она помо&гает следить за выкладками автора. Заметим, что выше Р. Грассман еще не ввел термина einfugen; он появится - в форме EinfUgung - лишь во второй части «уче&ния о величинах» (№ 45). То же касается и термина einweben, который опреде&ляется только в № 54 той же части.

31 * Очевидно, что плюсовыми будут, например, скобки в формулах а + (Ь + с), а + (be), (а Ь) + (с • d).

32* Das Fach - согласно современному словарю: ящик (стола); полка (шка&фа); отделение, часть (чего-то); клетка (наборной кассы); отдел (науки).

33* См. коммент. 11*.

34* Здесь Р. Грассман исходит из того, что гарантированно однозначной можно задать связь только двух величин. Для того чтобы связь, например, трех величин была однозначной, она должна обладать свойством ассоциативности. Так, разность т - п имеет единственное значение, но (т - п) - р * т - (п - р), где т, и, р - целые числа, тогда как, т + п + р = (m + п) + р = т + (п + р), поскольку сложение чисел ассоциативно. Произвольная бинарная операция, вообще гово&ря, не обладает свойством ассоциативности.

35* См. коммент. 14*.

36* Предполагается, что связывание величин происходит слева направо, что определяет соответствующую расстановку скобок (которая может только под&разумеваться). На языке современной логики это выполнение бинарной опера&ции по ассоциативности влево.

37* Здесь, насколько нам известно, впервые в логике вводится отношение, которое ныне называется графическим равенством формул. Вообще, в свете этого и двух следующих абзацев, можно считать, что у Грассмана налицо семан&тическое и синтаксическое определения равенства - неравенства. Приводи&мые в № 2 определения отношения равенства и неравенства (в предположении исправления последнего, см. коммент. 7*) являются семантическими, так как в них речь идет об отношении величин. Здесь же говорится о равенстве (одинако&вости) и неравенстве (неодинаковости) формул. Наиболее сильным является равнозвучностъ формул (предполагающая равенство обозначаемых ими вели&чин, что Грассманом не оговаривается). Из определения равнозвучности двух формул получается - как его отрицание - отношение различия формул: если две формулы не различны (т.е. одинаковы), то они равнозвучны. Более слабым, чем отношение равнозвучности, является отношение соответствия двух формул; например, если F(a) есть формула (а« с) • d, a F(b) - формула (Ь«с) * dy то F{a) и F(b) являются соответствующими друг другу. Таким образом, соответствие фор&мул, по Грассману, есть их структурная одинаковость.

В «Логике» 1890 г. Р. Грассман дает примеры формул, находящихся в упо&мянутых отношениях. В приводимых ниже формулах знак «+» обозначает опе&рацию объединения объемов двух понятий, а «•» (знак, который может и опус&каться) - операцию их пересечения. Равнозвучные формулы а + Ь(с + а) и а + b(c + а); соответствующие формулы: а + Ь(с + ап) и т + Ь(с + /У") - одна из них есть «формула от величины а», другая «отвеличины т». Соответствующие они потому, что если в первой из них заменить а на т, то получится формула, равнозвучная второй. Таким образом, соответствующие формулы выражают одинаковый способ соединения величин в целостность, различаясь обозначени&ем выделенной величины (величин). Если а и т в вышеприведенных формулах рассматривать как предметные переменные, может показаться, что здесь необ&ходимо ввести указание на совпадение областей их определения; однако в тео&рии Р. Грассмана это излишне, так как подобного рода переменные «пробега&ют» в соответствующих формулах - если не оговорено противное - все возмож&ные величины. Понятие соответствующих формул играет вспомогательную роль в доказательствах теории величин, чего нельзя сказать о понятии формуль&ного различия. Так, формулы а + Ь(с + а) и а + be + ba - различны, но в случае, когда для операций «•» и «+» действует закон дистрибутивности первой относи&тельно второй - что, как мы увидим, в теории величин на самом деле имеет ме&сто, - эти различные формулы оказываются равными как преобразуемые одна в другую по данному закону и выражающими поэтому одну и ту же целостность. Равнозвучные формулы всегда равны (что, говорит Р. Грассман в № 10, вытека&ет из № 9, т.е. из рефлексивности равенства величин) и, как станет ясным из его дальнейшего изложения, доказательство равенства величин, в конечном счете, сводится к установлению их равнозвучности - графической одинаковости - вы&ражающих их формул.

Следует заметить, что различение семантического и синтаксического уров&ней определений равенства у Р. Грассмана не очень четко. Так, устанавливает&ся, что две различные (в упомянутом выше смысле) формулы равны, если одна может быть преобразована в другую без изменения значения обозначаемых ими величин; преобразования же формул, которые в этом случае возможны, - это тождественные преобразования, основанные на семантическом определении равенства величин. Вводимое ниже (№ 12) отношение условного равенства вели&чин отчетливо семантическое, а вот появившееся ранее синтаксическое понятие формулы от величины в дальнейшем (№ 14) фактически отождествляется с по&нятием функции от величины, которое естественно считать семантическим.

Формулы Gln+1(flQ) и G{n(aa) следует, по-видимому, понимать в смысле определения «формулы от а», данного в № 8 - с тем отличием, что вид формул (Р. Грассман употребляет также выражение «функций») G раскрывается во вто&ром из приведенных равенств. Последнее естественно считать выражающим «равенство по определению», а индексировано, и индекс а пробегает в одном случае 1, 2, ..., п, п + 1, а в другом 1, 2, п,

В дальнейшем автор ссылку «от такой-то величины» оформляет по-разно&му: в № 25 она принимает вид G^JJb^) (что расшифровывается заданием соответ&ствующего «равенства по определению»), а в № 36 - вид G\ n о аф где а пробега&ет числа 1,2, п.

39* Очевидно, что отношение условного равенства - это просто иная форма логического перехода, опирающегося на общее определение отношения равенст&ва, т.е. логический переход

а~ b Г (а) = Г(Ь)'

При этом Г-не высказывание, т.е. не равенство теории величин, а произволь&ная «формула (фукция) от а», или величина. Ниже, в № 14, это правило и пред&ставляется как получающееся из определения отношения равенства (№ 2).

В «Логике» 1890 г. Отношение условного равенства формулируется так:

Теорема 16. F о а - F о b              Условие: а = b

Допущение (посылка) а = b Следствие: F о а = F о /?,

для любой формулы F.

Здесь «о» - знак бинарной операции, и видно, что данное правило «привя&зано» к языку теории величин. Было бы ошибкой видеть в подобном правиле выход за рамки средств, задаваемых отношением равенства.

Здесь выясняется, что, как мы уже показали в коммент 4\ грассманов- ское понятие связи (связывания, соединения и пр.) распространяется и на отно&шение равенства. В самом деле, термин Verbindung здесь применяется к прирав&ниванию величины а величинам b и с. Отсюда допустимость, с точки зрения Р. Грассмана, использования знака равенства в двух разных смыслах: как озна&чающего равенство величин и как выражающего равносильность (эквивалент&ность) высказываний. В современной логике эти различные смыслы передают&ся разными знаками: во втором случае вместо знака = обычно используется знак Но у Р. Грассмана отсутствует индуктивное определение формулы теории ве&личин; он может назвать формулой и соединение величин с помощью бинарной операции, и выражение, представляющее собой высказывание о равенстве (со&единений) величин. Впрочем, из контекста всегда ясно, какой смысл в каждом конкретном случае несет знак равенства. Так, очевидно, что в записи «заключе&ния» (а - Ь)-(а = с) знак «=», связывающий а = b и а = с, если читать эту запись буквально, означает операцию эквиваленции логики высказываний. Однако вы&ходить за рамки средств, вытекающих из свойств отношения равенства, в дан&ном случае не обязательно: переход ота = ЬиЬ = ска = с оправдывается тран&зитивностью отношения равенства (составляющей содержание данного № 16), и переход этот можно записать в виде цепочки а = Ь = с. Поскольку, однако, раз&личие этих двух смыслов равенства в дальнейшем, особенно в «Логике», будет играть существенную роль, мы над знаком равенства выражающего эквива&лентность, мы будем ставить точку, т.е. писать ==.

41 * В № 18 Р. Грассман формулирует один из основополагающих для всей его теории принцип индуктивного доказательства. Он имеет у него вид теоремы, и это требует пояснения.

Грассмановская индукция - согласно формулировке теоремы - строится следующим образом. Ведется она по величинам ai произвольной последователь- ности величин, индексированных числами натурального ряда. Базис индукции состоит в утверждении, что для первой величины последовательности имеет ме&сто совпадение значений двух произвольных формул (функций) F и завися&щих от яh т.е. справедливо равенство F(a\) - Ша{). Обозначим свойство элемен&та аХу задаваемое этим равенством, через Г(а{) и обратимся к индуктивному пере&ходу, т.е. шагу, ведущему от утверждения о наличии свойства Г у произвольно&го элемента аа последовательности величин, т.е. от Г(яа), к наличию этого свой&ства у непосредственно следующего элемента аа+]v т.е. к утверждению Г(яа+!). Заключение гласит, что тогда свойство Г присуще всем величинам последова&тельности.

В этой формулировке нет указания на то, какой - конечной или бесконеч&ной - является произвольная последовательность величин. Однако поскольку принцип индукции формулируется как теорема, он должен быть доказан, и Р. Грассман предъявляет соответствующее доказательство. Но ясно, что прохо&дит оно только для конечных последовательностей: а{> аъ ...ап. Это следует как из самого доказательства, так и из упоминания (в словесном изложении принци&па индукции) «последней величины ап» последовательности. Хотя п здесь произ&вольное натуральное число (исключая нуль), это доказательство не распростра&няется на бесконечные последовательности.

В самом деле, доказательство ведется по схеме:

Г(аО, Г(аа) = Г(да+1)

Г(ап),              (1)

где п — не произвольный элемент рассматриваемой (произвольной) последова&тельности величин, а ее последняя величина. Знак равносильности равенств =, таким образом, «проносится» по всей (конечной!) последовательности, что оче&видно из грассмановского доказательства «с помошью формул»: показывается, что каким бы ни было число л, получается цепочка равенств

Г(а,) = Г(а2) = ...=Г(ал).              (2)

В силу базиса индукции, утверждающего верность Г(яj), верными оказываются все равенства этой цепочки. Доказательство теоремы состоит в последователь&ном обосновании равносильностей, ведущих от Г(Я|) к Г(д„). Действительно, до&казательство, например, равносильности Г(я ^ = Г(а2) происходит по правилу за&мены равным, имеющему в данном случае вид

1= Г(Л1),Г(а1) = Г(а2)

1= Г (я2),

где Г(а{) и Г(д2) воспринимаются как равенства величин, а знак 1= означает ут&верждение об истинности равенства; и так же происходит переход к последую&щим членам цепочки (2).

Ясно, что доказательство теоремы № 18 возможно (потенциально возмож&но) только в случае конечности цепочки (2). Для бесконечного случая принцип индукции надо постулировать; при этом грассмановская формулировка № 18 в исправлении не нуждается. Однако «доказательство» как в формульной, так и в словесной формулировке не проходит. Да и сам Р. Грассман от него, по сущест&ву, отказывается, когда уже в следующем № 19 формулирует аналогичную тео&рему для элементарных величин (здесь это действительно теорема, поскольку она опирается на № 18) так, что она распространяется и на бесконечные после- довательности, и пользуется этим при доказательстве предложения № 23. В дальнейшем метод доказательства по индукции применяется им систематически и относится как к свойствам связей произвольных величин, так и к свойствам связывающих их равенств. В «Логике» 1872 г. индуктивное доказательство впер&вые используется при доказательстве теоремы № 6 (см. с. 00 наст. изд.).

Может возникнуть вопрос, не означает ли появление в грассмановской тео&рии равносильности равенств - отношения, которое может пониматься как опе&рация эквиваленции пропозициональной логики, - выход за пределы теории, ос&нованной только на свойствах отношения равенства. Вопрос этот тем более уместен, что в своих словесных формулировках принципа индукции Р. Грассман для передачи хода мысли, ведущей от истинности Г(да) к истинности Г(яа+1) ис&пользует условную связь. В этом случае схема индукции приобретает хорошо известный ныне вид:

Г(в,), Г(Аа)эГЦ+1)

ГЦ,).

где Г(аа) есть F(aa) = g(aa), а Г(аа+1) есть F(<ia+i) = S^a+і)- Исходя из этой схе&мы, как будто бы, можно упрекнуть Р. Грассмана в том, что он не последовате&лен, и в своей теории величин, которая строится им как предшествующая сфере логического, использует условную связь пропозициональной логики. Подобный упрек по адресу автора «учения о формах» высказывает Лотар Крайзер в пара&графе 3.1 «"Учение о величинах" Р. Грассмана и "Запись в понятиях" Фреге» своей книги «Готтлоб Фреге. Жизнь - Творчество - Время» {L. Kreiser. Gottlob Frege. Leben - Werk - Zeit. Felix Meiner Verlag. Hamburg, 2001). Упрек этот, одна&ко, вряд ли справедлив.

Суть дела в том, что условное суждение, фиксирующее индуктивный переход, служит для Р. Грассмана просто для сокращенной передачи рас&суждения, основанного исключительно на свойствах равенства (равносильно&сти). Даже если мы запишем, например, переход от истинности Г(0|) к истинно&сти Г(а2) (см. первый шаг «доказательства» № 18) как применение правила modus ponens:

Г (а,), Г(в|) => Г(а2) Г(а2),

мы все равно не привлечем средств логики высказываний: за знаком имплика&ции стоят тождественные преобразования, и применение упомянутого правила можно элиминировать. И это тем более верно, если учесть, что словесные фор&мулировки в грассмановском изложении носят вторичный характер - первичны&ми являются формулировки формульные. Слова служат только тому, чтобы эти формулировки лучше понимались и запоминались читателем. Формульное же представление грассмановского принципа индукции не использует условной свя&зи - автор «теории форм» обходится знаком равенства, выражающим равно&сильность высказываний, содержащих знак равенства.

42* Вряд ли можно согласиться с тем, что приведенные Р. Грассманом при&меры отвечают его пожеланиям. Прежде всего неясно, что такое научная кон&струкция. Если предположить, что он имеет в виду корпус некоторой теории, то даже формально построенная теория не обладает такой жесткостью, так что этот пример сомнительный. Что касается словаря, то можно согласиться, что при лексикографическом упорядочении слова, действительно, нельзя перестав- лять, а соединение слов в любом живом языке не является ассоциативным, од&нако у Р. Грассмана идет речь об операциях, которые не обладают ни ассоциа&тивностью, ни коммутативностью, в примере же операции не указаны. Приме&ром такого рода операции могло бы служить векторное умножение векторов, но хотя идеи векторного исчисления присутствуют в «Учении о протяженностях» Г. Грассмана, подобных теорий у Роберта нет. Более простыми примерами не&ассоциативных и некоммутативных операций являются обычное вычитание и деление чисел.

43* Начало этого раздела хорошо иллюстрирует стиль грассмановского из&ложения. Сначала вводится словесное определение понятия (здесь - объедине&ния величин), сопровождаемое примерами (№21); затем рекурсивно определяет&ся (абстрактная) ассоциативная операция (N° 22), - появляется «основная форму&ла объединения». Далее следует индуктивное доказательство того, что величина аоЬ9 где д, b - величины, элементы которых связаны последовательно с по&мощью ассоциативной операции представляет собой величину, элементы которой связаны последовательно (№ 23). После этого - тоже индуктивно - доказывается закон ассоциативности для величин а, Ь, с, обладающих указанным свойством (№ 24). И, наконец, в № 25, индуктивно же доказывается «скобочный закон», разрешающий вводить и удалять скобки (памятуя об «ассоциативности влево»). По той же схеме строится изложение в последующих разделах.

*** В № 25 словесная формулировка «закона объединения», его формуль&ное доказательство и словесное изложение не вполне согласуются между собой. В доказательстве с помощью формул предполагается, что в величине, соединен&ной с а у все входящие в нее величины связаны последовательно, что есть лишь частный случай возможной структуры величины (в этом убеждает пример, при&веденный в коммент. 46*). Внеформульное же изложение доказательства этого закона вполне адекватно его словесной формулировке.

45* В самом деле, пусть с, например, имеет вид ех о (е2 ° е3) о е4. Тогда мы имеем:

aobo ((^| ое2 о еъ) о е4) = а о b о ех о (е2 о еъ) о е4 (согласно № 22)

а а о b о Єї о (е2 о е3) о е4 (согласно допущению) = а о b о ех о е2о е^ о е4 (согласно допущению).

46-1 Ниже следует доказательство для того частного случая, который приве&ден в пункте 3 предложения (теоремы) № 29.

47* Как следует из определения 31, здесь под «отношением» Р. Грассман подразумевает операцию, обладающую свойством дистрибутивности.

48* Определение № 31 - это несколько неуклюжая формулировка обобщен&ной дистрибутивности операции «отношение» относительно двух разных видов объединения. № 32 проясняет вопрос, хотя приводимое далее словесное изложе&ние, строго говоря, соответствует лишь первому из выписанных под этим номе&ром равенств. Заметим также, что словесное задание операции «отношение», приведенное ранее, отличается от того, которое приведено здесь; а именно оно соответствует такой формулировке, при которой в скобке помещена формула е о а, а не формула а о е. Это различие было бы несущественно, если бы опера&ция была коммутативна, т.е. была не «объединением», а «перестановкой». Сле&дует также заметить, что в обоих случаях Р. Грассман допускает неточности в описании левых частей равенств № 32. Эти неточности повторяются и в его тру&де «Система знания» (Bd. I, Hafte 2: Die Denklehre, S. 47) при разъяснении смыс- ла операции «переплетения» (умножения), которая совпадает у него с операци&ей (простого) «отношения», введенной в первой части сочинения 1872 г.

49* В оригинале имеется опечатка: в правой части первого из равенств № 32 вместо abOeb помещено abO ае. Начиная с № 32 - фактически с № 31 - Р. Грасс&ман приводит серию теорем, рекурсивно задающих операцию «отношения» (впоследствии оказывающуюся умножением) с помощью двух операций «объе&динения»: о и О.

50* В оригинале опечатка: вместо Fc и ее напечатано Fc о ее.

51* В этом абзаце дано не столько словесное доказательство равенств № 35, сколько описание процедуры преобразования формул, вытекающей из их фор&мульных доказательств.

52* То есть (ах о а2о ... о an)b = ахЬ О а2ЬО ... О апЬ.

В записи Gj п о аа (№ 36) ее часть «о ай» указывает на то, что величины формулы Gj п с числами aj, а2> ...,ап связаны знаком а вся формула читается по ассоциативности влево. Расшифровку правых частей обоих равенств мы пре&доставляем читателю.

53* Основная формула объединения (ассоциативности бинарной операции) приведена в № 22. Закон объединения (№ 25) - это обобщенный закон ассоциа&тивности.

54* В «Логике» 1890 г. Р. Грассман в связи этим отмечает: «Профессор Шрё&дер в своей работе "Сфера операций логического исчисления», Лейпциг, 1877, с. 8, выдвигает это предложение в качестве принципа или аксиомы, приобрета&емой интуитивно, которая, на его взгляд, "непосредственно очевидна" и поэто&му не требует доказательства. Для наглядного представления это можно счесть совершенно верным; ведь при обучении счету законы 3+4=4+Зи т.д. усваи&ваются путем наглядного опыта. Однако в строгой науке это предложение нель&зя выдвигать в качестве принципа или аксиомы, так как его можно доказать» (Die Logik, 1890, S. 25).

55* В «Логике» 1890 г. читаем: «Определение. Скобка называется фактор&ной скобкой, если величины, в ней заключенные, и величины вне нее связаны с помощью переплетения [умножения]; она называется скобкой, выражающей отношение, если величины внутри скобки связаны путем сложения, сама же скобка связана с величиной, находящейся вне нее, путем переплетения [умноже&ния].

Примеры. Факторная скобка: а(Ь с); скобка, выражающая отношение: а(Ь + с), (а + с)Ьу (а + Ь) (а + с)» (Die Logik, 1890, S. 25).

5&* Ausdehnungslehre - это и название основного сочинения Г. Грассмана.

57* Буквами b, і, z, а Р. Грассман, по-видимому, указывает на характерную для соответствующей ветви операцию или объект: b - begrifflich (понятийно, ло&гически), і - innere (внутреннее сложение, умножение), z - Zahl (число), а - aeusere (внешнее сложение, умножение).

58; То есть если сложение ассоциативно и коммутативно.