19.Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системы нормальных уравнений).

Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов

Определение. Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, называются эмпирическими формулами.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов.

1 этап. Необходимо установить вид зависимости , т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической, экспоненциальной или какой-либо другой.

Для выбора функции привлекают дополнительные соображения (опыт предшествующих исследований, теоретические выводы и т.д.).

Предположим, что 1 этап завершен (вид функции установлен).

2 этап. Определение неизвестных параметров функции.

Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров функции выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов невязок , или отклонений «теоретических» значений , найденных по эмпирической формуле , от соответствующих эмпирических значений , т.е. была минимальной.

Пусть в качестве функции взята линейная функция и задача сводится к отысканию таких параметров и , при которых функция принимает наименьшее значение.

Решение экстремальной задачи.

Функция есть функция двух переменных и , а , - постоянные числа, найденные экспериментально.

Решаем систему уравнений или (8.2)

После алгебраических преобразований эта система принимает вид: (8.3)

Система (8.3) называется системой нормальных уравнений.