Ь. Учение о протяженностях  

Для учения о протяженностях, как и для любой ветви учения о мышлении, в случае сложения имеет силу объединение. Поэто&му здесь должна быть справедлива и перестановка, так как, если возможно складывать (е{ + е2) + (ех + е2), то ех и е2 должны допус&кать перестановку, и тогда получается, что 2(ех + е2) = ех + ех + е2 + е2 = 2ех + 2ег. Но в таком случае в учении о протя&женностях справедливы все законы добавления и убавления [величин] и все законы умножения и деления чисел, так же, как это имеет место в арифметике.

Но тогда, прежде всего, справедливы законы единицы. Если ахех + о^е2 + ... + апе„ = 0, то все ах> о^,а„ должны быть рав&ны нулю. Ибо, если хотя бы одна из этих величин, например alt окажется не равной нулю, то все слагаемые можно разделить на ах и получить ех + a^a, ег + ... + o.Jaxen = 0, т.е. представить ех как сумму нескольких других слагаемых, что противоречит определению понятия новой единицы. Далее, в учении о протя&женностях две величины а = а{ех + а2е2 + ... + апе„ и Ъ = (Vi + + ... + оспеп равны тогда и только тогда, когда аі = Рі> Щ. = Рг> • •• ап = Р^ ибо если из первой вычесть вторую, то мы получим

а - b = О = (а, - + (ой- р2)г2 + ...

а здесь, как было доказано, о^-Р, = 0, с^- Р2 = 0,... ая~Рл = 0, отку&да непосредственно следует, что а{ = р,, о^ = Р2, ... а„ = Р„.

В учении о протяженностях простые величины, или единицы, можно также перемножать друг с другом. И здесь для умножения должно быть справедливо объединение, если мы вообще хотим допустить изменение формы. Напротив, нельзя установить, что ее = е\ ибо тогда, учитывая, что е-1 = е, а 1 = е/е, мы получим, что

е ее е t

е = е\-е- — -              = - = 1,

е е е

т.е. что все простые величины равны 1, и мы снова оказываемся в учении о числах, а не в учении о протяженностях.

Стало быть, мы должны положить е е не равным е\ самое про&стое - положить е е равным нулю. Если же в качестве простых величин или единиц мы положим другие величины, например ех + е2 , то получим 0 = (ех + е2) (ех + е2) = ех е{ + ех е2 + + е2 ех + е2 еъ т.е., поскольку ехех = 0 и е2 е2 = 0, окажется, что 0 = е{ е2 + е2е,, или е2ех --Є\Є2. Этот вид умножения называется сглажи&ванием (выравниванием) (комбинаторным умножением), а его ре&зультат - площадкой. Стало быть, в случае сглаживания только площадки отличных друг от друга единиц не равны нулю, а пере&становка не имеет силы. Чтобы отличить площадку от других продуктов, или произведений, ее заключают в сглаживающую скобку, т.е. пишут [ех е2].

Но мы можем положить еаеа не равным нулю. Если в этом случае произведение отличных друг от друга единиц положить равным нулю, то получится внутреннее умножение, которое, од&нако, может быть легко сведено к сглаживанию. Поэтому сгла&живание есть умножение, присущее учению о протяженностях.

Наконец, произведение и одинаковых, и различных единиц можно положить отличным от нуля и затем установить для не&го перестановку; тогда мы получаем: (ех + е2)(ех + е2) = = ех ех + ехе2 + е2ех + е2е2 = (ехех + е2 е2) + 1ехе2* Переплетение в этом случае называется свиванием. А результат - косой (свивкой).

Из каждой из этих более низких ветвей вырастает более высо&кая ветвь: из учения о числах - учение о последовательностях, или учение о функциях; из учения о протяженностях - учение о расши&рениях. Однако каждая из этих ветвей, вырастая из соответствую&щей более низкой ветви, может быть понята только при условии, что более низкая ветвь уже разработана. Поэтому я должен отка&заться здесь от изложения идей, относящихся к этим ветвям.

В. Логическое ответвление

Логическим ответвлением мы назвали ту ветвь учения о мыш&лении, для которой е + € = е\ отсюда сразу следует, что все вели&чины, которые возникают из е путем последовательного сложе&ния, должны быть равны е.

Как и для всех ветвей учения о мышлении, для сложения в этом случае выполняется объединение; но здесь выполняется также и перестановка. Ибо, если каждую величину можно поло&жить состоящей из простых величин, например ех + е2у то мы должны принять и ех + е2 + ех + е2 = ел + е2у т.е. поскольку ех = ех + ех и е2 = е2 + еъ то должно быть и ех + е2 + ех + е2 = = ех + ех + е2 + еъ т.е. должна быть справедлива перестановка. Но тогда вообще а + а = а.

В логических науках сумма двух величин никогда не может быть равна нулю, если одна из двух величин не нуль. Ибо если бы а + Ь- 0, то поскольку а + а = ауа = а + 0 = а + а + Ь = = а + Ь = 0.

Поэтому в логических науках не существует вычитания и погашающих, или отрицательных, величин; ибо если бы мы по&желали положить а-а = 0, то тогда, поскольку а + а = а, было бы а = а + 0 = а + а- а = а-а = 0, т.е. все величины в логических нау&ках обратились бы в нуль.

а. Логика

Среди логических наук самой простой является та, в которой для умножения устанавливается, что е е = е\ отсюда непосредствен&но следует, что все величины, возникающие из е путем последова&тельного умножения, равны е.

В логике тогда невозможно, чтобы продукт двух простых ве&личин был равен единичности; ибо, если ее = 1, то из этого следу&ет, что е = е • е = 1, т.е. все простые величины равны единичности. В логике поэтому не существует деления, так как если бы мы

положили 1 = —, то отсюда, поскольку ее = е, следовало бы, что е

е ее е л

е = е-1 = е- — =              = —= 1, т.е. что каждая величина равна еди-

е е е

ничности.